On cherche à déterminer tous les couples d'entiers relatifs \left(x;y\right) solutions de l'équation :
\left(E\right) : 12x -7y = 1
On sait que le couple \left(-4 ; -7\right) est solution de l'équation.
Quelle proposition démontre que si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) , alors on a : 12\left(x+4 \right) = 7\left(y+7\right) ?
Supposons que le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right).
On a alors 12x -7y = 1
On sait également que 12 \times \left(-4\right) -7 \times \left(-7\right) = 1
Donc par soustraction membre à membre on obtient :
12x+12\times 4-7y -7\times 7 = 1-1
Soit :
12\left(x+4\right)- 7\left(y+7\right) = 0
Ce qui donne :
12\left(x+4\right)= 7\left(y+7\right)
On obtient l'implication cherchée :
Si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) , alors on a : 12\left(x+4\right)= 7\left(y+7\right).
Dans quelle proposition en déduit-on que si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) alors il existe un entier k tel que x = -4+7 k et y=-7+12k ?
On suppose que le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right).
On a :
- 12\left(x+4\right)= 7\left(y+7\right)
- \left(x+4\right) et \left(y+7\right) sont des entiers
Alors on a :
12 divise 7\left(y+7\right)
D'après le théorème de Gauss si a, b et c sont des entiers tels que a divise le produit bc et a est premier avec b alors a divise c.
Donc, comme 12 est premier avec 7, 12 divise \left(y+7\right).
Ainsi, il existe un entier relatif k tel que 12k = y+7
On en déduit que :
y = -7+12k
On peut finalement remplacer cette expression de y dans l'égalité suivante :
12\left(x+4\right)= 7\left(y+7\right)
\Leftrightarrow 12\left(x+4\right)= 7\left(-7+12k+7\right)
\Leftrightarrow 12\left(x+4\right)= 7\times 12k
\Leftrightarrow x+4= 7k
\Leftrightarrow x= -4+7k
Ce qui donne bien :
- x= -4+7k
- y = -7+12k
Si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right), alors il existe un entier k tel que x = -4+7 k et y=-7+12k.
Quel est l'ensemble des couples solutions de \left(E\right) ?
Réciproquement, on vérifie que les couples \left(-4+7k ; -7+12k\right) sont solutions de \left(E\right) en remplaçant dans l'équation :
12\left(-4+7k\right) -7 \left(-7+12k\right) = -48 +12\times 7 k +49 -7\times 12 k = 1
Les couples \left(-4+7k ; -7+12k\right) sont bien solutions de \left(E\right).
Les couples solutions de \left(E\right) sont les couples de la forme \left(-4+7k ; -7+12k\right) avec k \in \mathbb{Z}.