On cherche à déterminer tous les couples d'entiers relatifs \left(x;y\right) solutions de l'équation :
\left(E\right) : 9x+8y= 1
On sait que le couple \left(-7 ; 8\right) est solution de l'équation.
Quelle proposition démontre que si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) , alors on a : 9\left(x+7\right) = 8\left(-y+8\right) ?
Supposons que le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right).
On a alors 9x+8y= 1
On sait également que 9 \times \left(-7\right) +8 \times 8 = 1
Donc par soustraction membre à membre on obtient :
9x+9\times 7+8y -8\times 8 = 1-1
Soit :
9\left(x+7\right)+8\left(y-8\right) = 0
Ce qui donne :
9\left(x+7\right)=8\left(-y+8\right)
On obtient l'implication cherchée :
Si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) , alors on a : 9\left(x+7\right)=8\left(-y+8\right) .
Dans quelle proposition en déduit-on que si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) alors il existe un entier k tel que x = -7+8 k et y=8-9k ?
On suppose que le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right).
On a :
- 9\left(x+7\right)=8\left(-y+8\right)
- \left(x+7\right) et \left(-y+8\right) sont des entiers
Alors on a :
9 divise 8\left(-y+8\right)
D'après le théorème de Gauss si a, b et c sont des entiers tels que a divise le produit bc et a est premier avec b alors a divise c.
Donc, comme 9 est premier avec 8, 9 divise \left(-y+8\right).
Ainsi, il existe un entier relatif k tel que 9k= -y+8
On en déduit que :
y = 8-9k
On peut finalement remplacer cette expression de y dans l'égalité suivante :
9\left(x+7\right)=8\left(-y+8\right)
\Leftrightarrow 9\left(x+7\right)=8\left(-8+9k+8\right)
\Leftrightarrow 9\left(x+7\right)=8\times 9k
\Leftrightarrow x+7= 8k
\Leftrightarrow x= -7+8k
Ce qui donne bien :
- x= -7+8k
- y = 8-9k
Si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right), alors il existe un entier k tel que x = -7+8k et y = 8-9k.
Quel est l'ensemble des couples solutions de \left(E\right) ?
Réciproquement, on vérifie que les couples \left(-7+8k ; 8-9k\right) sont solutions de \left(E\right) en remplaçant dans l'équation :
9\left(-7+8k\right) +8 \left(8-9k\right) = -63 +9\times 8 k +64-8\times 9 k = 1
Les couples \left(-7+8k ; 8-9k\right) sont bien solutions de \left(E\right).
Les couples solutions de \left(E\right) sont les couples de la forme \left(-7+8k ; 8-9k\right) avec k \in \mathbb{Z}.