Résoudre une équation diophantienne dont une solution est connue Exercice

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Dernière modification : 07/08/2019 - Conforme au programme 2019-2020

On cherche à déterminer tous les couples d'entiers relatifs \left(x;y\right) solutions de l'équation :

\left(E\right) : 13x-10y= 1

On sait que le couple \left(7;9\right) est solution de l'équation.

Quelle proposition démontre que si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) , alors on a : 13\left(x-7\right) = 10\left(y-9\right) ?

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(13\times7\right)-\left(10\times9\right)=1

On a donc :

13x-10y=\left(13\times7\right)-\left(10\times9\right)\\\\\Leftrightarrow13\left(x-7\right)+10\left(-y+9\right)=0\\\Leftrightarrow13\left(x+5\right)=10\left(y-9\right)

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(13\times7\right)+\left(10\times9\right)=1

On a donc :

13x-10y=\left(13\times7\right)-\left(10\times9\right)\\\\\Leftrightarrow13\left(x-7\right)+10\left(-y+9\right)=0\\\Leftrightarrow13\left(x+5\right)=10\left(y-9\right)

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(13\times7\right)-\left(10\times9\right)=1

On a donc :

13x-10y=\left(13\times7\right)-\left(10\times9\right)\\\\\Leftrightarrow13\left(x-7\right)+10\left(y+9\right)=0\\\Leftrightarrow13\left(x+5\right)=10\left(y-9\right)

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que \left(13\times7\right)-\left(10\times9\right)=1

On a donc :

13x-10y=\left(13\times7\right)-\left(10\times9\right)\\\\\Leftrightarrow13\left(x-7\right)+10\left(-y-9\right)=0\\\Leftrightarrow13\left(x+5\right)=10\left(y-9\right)

Dans quelle proposition en déduit-on que si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) alors il existe un entier k tel que x =7+10k et y=9+13k ?

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que 13x-10y=\left(13\times7\right)-\left(10\times9\right)\\\Leftrightarrow13\left(x-7\right)=10\left(y-9\right)\\

13 divise donc 10\left(y-9\right). De plus, 10 et 13 sont premiers entre eux.

Donc, d'après le théorème de Gauss, 13 divise y-9

On a donc : y=9+13k et x=7+10k, k\in\mathbb{Z}

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que 13x-10y=\left(13\times7\right)-\left(10\times9\right)\\\Leftrightarrow13\left(x-7\right)=10\left(y-9\right)\\

13 divise donc 10\left(y-9\right). De plus, 10 et 13 sont premiers entre eux.

Donc, d'après le théorème de Gauss, 13 divise 10

On a donc : y=9+13k et x=7+10k, k\in\mathbb{Z}

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que 13x-10y=\left(13\times7\right)-\left(10\times9\right)\\\Leftrightarrow13\left(x-7\right)=10\left(y-9\right)\\

13 divise donc 10\left(y-9\right).

On a donc : y=9+13k et x=7+10k, k\in\mathbb{Z}

Soit \left(x,y\right) solution de l'équation E.

On sait que 13x-10y=\left(13\times7\right)-\left(10\times9\right)\\\Leftrightarrow13\left(x-7\right)=10\left(y-9\right)\\

13 divise donc 10\left(y-9\right). De plus, 10 et 13 sont premiers entre eux.

Donc, d'après le théorème de Gauss, 13 divise y

On a donc : y=9+13k et x=7+10k, k\in\mathbb{Z}

Quel est l'ensemble des couples solutions de \left(E\right) ?

\left(7+10k ; 9+13k\right),k\in\mathbb{Z}

\left(7-10k ; 9+13k\right),k\in\mathbb{Z}

\left(7+10k ; 9-13k\right),k\in\mathbb{Z}

\left(7+10k ;-9+13k\right),k\in\mathbb{Z}