On cherche à déterminer tous les couples d'entiers relatifs \left(x;y\right) solutions de l'équation :
\left(E\right) : 13x-10y= 1
On sait que le couple \left(7;9\right) est solution de l'équation.
Quelle proposition démontre que si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) , alors on a : 13\left(x-7\right) = 10\left(y-9\right) ?
Supposons que le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right).
On a alors 13x-10y=1
On sait également que 13 \times 7 -10 \times 9 = 1
Donc par soustraction membre à membre on obtient :
13x-13\times 7-10y +10\times 9 = 1-1
Soit :
13\left(x-7\right)-10\left(y-9\right) = 0
Ce qui donne :
13\left(x-7\right)=10\left(y-9\right)
On obtient l'implication cherchée :
Si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) , alors on a : 13\left(x-7\right)=10\left(y-9\right) .
Dans quelle proposition en déduit-on que si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right) alors il existe un entier k tel que x =7+10k et y=9+13k ?
On suppose que le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right).
On a :
- 13\left(x-7\right)=10\left(y-9\right)
- \left(x-7\right) et \left(y-9\right) sont des entiers.
Alors on a :
13 divise 10\left(y-9\right)
D'après le théorème de Gauss si a, b et c sont des entiers tels que a divise le produit bc et a est premier avec b alors a divise c.
Donc, comme 13 est premier avec 10, 13 divise \left(y-9\right).
Ainsi, il existe un entier relatif k tel que 13k= y-9
On en déduit que :
y = 9+13k
On peut finalement remplacer cette expression de y dans l'égalité suivante :
13\left(x-7\right)=10\left(y-9\right)
\Leftrightarrow 13\left(x-7\right)=10\left(9+13k-9\right)
\Leftrightarrow 13\left(x-7\right)=10 \times 13k
\Leftrightarrow x-7= 10k
\Leftrightarrow x= 7+10k
Ce qui donne bien :
- x= 7+10k
- y = 9+13k
Si le couple \left(x ; y\right) est solution de \left(E\right), alors il existe un entier k tel que x = 7+10k et y = 9+13k.
Quel est l'ensemble des couples solutions de \left(E\right) ?
Réciproquement, on vérifie que les couples \left(7+10k ; 9+13k\right) sont solutions de \left(E\right) en remplaçant dans l'équation :
13\left(7+10k\right) -10\left(9+13k\right) = 91 +13\times 10 k -90-10\times 13 k = 1
Les couples \left(7+10k ; 9+13k\right) sont bien solutions de \left(E\right).
Les couples solutions de \left(E\right) sont les couples de la forme \left(7+10k ; 9+13k\right) avec k \in \mathbb{Z}.