Utiliser la linéarité pour calculer une intégrale Exercice

I=\int_{1}^{2}3\ln\left(x\right) \ \mathrm dx-\int_{1}^{2}3\ln\left(x\right)+4x \ \mathrm dx.

Le calcul de chacune de ces deux intégrales n'est pas au programme de terminale. Mais lorsque les bornes sont les mêmes, la différence des intégrales est l'intégrale de la différence. Par linéarité de l'intégrale, on obtient donc:

I=\int_{1}^{2}3\ln\left(x\right) \ \mathrm dx-\int_{1}^{2}3\ln\left(x\right)+4x \ \mathrm dx=\int_{1}^{2}3\ln\left(x\right)-\left(3\ln\left(x\right)+4x\right) \ \mathrm dx=\int_{1}^{2}3\ln\left(x\right)-3\ln\left(x\right)-4x \ \mathrm dx=\int_{1}^{2}-4x \ \mathrm dx=\int_{1}^{2}f\left(x\right) \ \mathrm dx en posant, pour tout x de l'intervalle \left[1;2\right], f\left(x\right)=-4x.

Une primitive de f est F en posant, pour tout x de l'intervalle \left[1;2\right] :

F\left(x\right)=-4\times \dfrac{x^2}{2}=-2x^2.

On peut maintenant calculer I:

I=\int_{1}^{2} f\left(x\right) \ \mathrm dx

I=F\left(2\right)-F\left(1\right)=\left[ F\left(x\right) \right]_{1}^{2}=\left[-2x^2\right]_{1}^{2}

I=-2\times 2^2-\left(-2\times 1^2\right)=-8+2=-6