Un grossiste en fournitures de bureau affirme que 98% de ses stylos fonctionnent.
Un client achète 400 stylos et constate que 28 ne fonctionnent pas.
On peut assimiler le choix d'un échantillon de 400 stylos dans la production à un tirage avec remise.
Supposons que le grossiste ait raison.
Notons X est la variable aléatoire qui pour chaque échantillon aléatoire de 400 stylos donne le nombre de stylos qui fonctionnent.
Quelle est la loi de X ?
L'expérience "essayer un stylo" a deux issues possibles :
- Succès : le stylo fonctionne, obtenu avec la probabilité p = 0{,}98.
- Echec : le stylo ne fonctionne pas, obtenu avec la probabilité q = 1-p = 0{,}02.
Cette expérience est répétée 400 fois de manière indépendante (le choix d'un stylo est assimilé à un tirage avec remise).
X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.
Donc X suit une loi binomiale de paramètres n=400 et p=0{,}98.
On souhaite valider ou rejeter l'affirmation du grossiste.
Quelle proposition correspond à un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% pour la fréquence des stylos qui fonctionnent sur un échantillon de 400 stylos ?
Vérifications des conditions
D'après le cours on sait qu'on peut déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique si les conditions suivantes sont satisfaites :
- n \geq 30
- np \geq 5
- n\left(1-p\right) \geq 5
Ici, on a :
- n=400, donc n\geq30
- np = 400\times 0{,}98= 392, donc np\geq 5
- n\left(1-p\right) = 3\ 000 \times \left(1-0{,}98\right)= 8, donc n\left(1-p\right)\geq5
On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique.
Calcul des bornes l'intervalle de fluctuation asymptotique
D'après le cours, un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95% de la fréquence est :
I = \left[ p- 1{,}96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}; p+ 1{,}96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\right]
Ici, on a p=0{,}98 et n=400.
On obtient donc :
I = \left[0{,}98- 1{,}96\dfrac{\sqrt{0{,}98\times 0{,}02}}{\sqrt{400}}; 0{,}98+1{,}96\dfrac{\sqrt{0{,}98\times 0{,}02}}{\sqrt{400}}\right]
En arrondissant la borne inférieure par défaut et la borne supérieure par excès, on obtient :
I=[0{,}966;0{,}994]
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% pour la fréquence des stylos qui fonctionnent sur un échantillon aléatoire de 400 stylos est :
I=[0{,}966;0{,}994]
Peut-on affirmer que le vendeur de stylos a raison ?
Notons f la fréquence des stylos qui fonctionnent sur l'échantillon.
f=\dfrac{372}{400}=0{,}93
Si le grossiste avait raison, la probabilité d'avoir la fréquence f dans l'intervalle I précédent serait d'au moins 95%.
Or f\notin I.
Donc, au risque de 5%, on rejette l'hypothèse selon laquelle le grossiste a raison.