Une société possédant des clubs de vacances affirme que 96% de ses clients sont satisfaits.
Un voyagiste constate, que parmi 800 vacanciers ayant séjourné dans un de ces clubs 738 sont satisfaits.
On peut assimiler le choix d'un échantillon de 800 vacanciers parmi tous les vacanciers ayant séjourné dans un des clubs de la société à un tirage avec remise.
On suppose que l'affirmation de la société soit vraie.
On note X la variable aléatoire associant à chaque échantillon de 800 vacanciers ayant séjourné dans un des clubs de cette société le nombre de clients satisfaits.
Quelle est la loi de X ?
L'expérience "demander son avis au vacancier" a deux issues possibles :
- Succès : le vacancier est satisfait, obtenu avec la probabilité p = 0{,}96
- Echec :le vacancier n'est ps satisfait, obtenu avec la probabilité q = 1-p = 0{,}96.
Cette expérience est répétée 800 fois de manière indépendante (le choix d'un vacancier est assimilé à un tirage avec remise).
X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.
Donc X suit une loi binomiale de paramètres n=800 et p=0{,}96.
On souhaite valider ou rejeter l'affirmation de la société.
Quelle proposition correspond à un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% pour la fréquence des clients satisfaits sur un échantillon de 800 personnes ayant séjourné dans un clubs de la société ?
Vérifications des conditions
D'après le cours on sait qu'on peut déterminer un intervalle de fluctuation si les conditions suivantes sont satisfaites :
- n \geq 30
- np \geq 5
- n\left(1-p\right) \geq 5
Ici, on a :
- n=800, donc n\geq30
- np = 800\times 0{,}96= 768, donc np\geq 5
- n\left(1-p\right) = 1\ 000 \times \left(1-0{,}96\right)= 32, donc n\left(1-p\right)\geq5
On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique.
Calcul d'un intervalle de fluctuation asymptotique
D'après le cours, un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95% de la fréquence est :
I = \left[ p- 1{,}96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}; p+ 1{,}96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\right]
Ici, on a p=0{,}96 et n=800.
On obtient donc :
I = \left[0{,}96- 1{,}96\dfrac{\sqrt{0{,}96\times 0{,}04}}{\sqrt{800}}; 0{,}96+1{,}96\dfrac{\sqrt{0{,}96\times 0{,}04}}{\sqrt{800}}\right]
En arrondissant la borne inférieure par défaut et la borne supérieure par excès, on obtient :
I=[0{,}946;0{,}974]
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% pour la fréquence des clients satisfaits sur un échantillon aléatoire de 800 vacanciers ayant séjourné dans un des clubs de la société est :
I=[0{,}946;0{,}974]
Peut-on affirmer que la société de clubs de vacances a raison ?
La société de clubs de vacances pense que 96% de ses clients sont satisfaits.
Notons f la fréquence des clients satisfaits sur l'échantillon.
f=\dfrac{738}{800}=0{,}9225
Donc f\notin I.
On peut affirmer au risque d'erreur de 5% que la société de clubs de vacances a tort.