Un agriculteur cultive des laitues. Ils considèrent que 85% de ses laitues sont de taille suffisante à maturité pour être vendues.
Dans un lot de 1000 laitues arrivées à maturité, l'agriculteur constate que 810 sont de taille suffisante.
On peut assimiler le choix d'un échantillon de 1000 laitues dans la production à un tirage avec remise.
Supposons que l'agriculteur ait raison.
Notons X la variable aléatoire associant à chaque échantillon de 1000 laitues le nombre de laitues de taille suffisante.
Quelle est la loi de X ?
L'expérience "choisir une laitue" a deux issues possibles :
- Succès : la laitue est de taille suffisante, obtenu avec la probabilité p = 0{,}85
- Echec : la laitue n'est pas de taille suffisante, obtenu avec la probabilité q = 1-p = 0{,}15.
Cette expérience est répétée 1000 fois de manière indépendante (le choix d'une laitue est assimilé à un tirage avec remise).
X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.
Donc X suit une loi binomiale de paramètres n=1\ 000 et p=0{,}85.
On souhaite valider ou rejeter l'affirmation de l'agriculteur.
Quelle proposition correspond à un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% pour la fréquence des laitues de taille suffisante sur un échantillon de 1000 laitues ?
Vérifications des conditions
D'après le cours on sait qu'on peut déterminer un intervalle de fluctuation si les conditions suivantes sont satisfaites :
- n \geq 30
- np \geq 5
- n\left(1-p\right) \geq 5
Ici, on a :
- n=1\ 000, donc n\geq30
- np = 1\ 000\times 0{,}85= 850, donc np\geq 5
- n\left(1-p\right) = 1\ 000 \times \left(1-0{,}85\right)= 150, donc n\left(1-p\right)\geq5
On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique.
Calcul d'un intervalle de fluctuation asymptotique
D'après le cours, un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95% de la fréquence est :
I = \left[ p- 1{,}96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}; p+ 1{,}96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\right]
Ici, on a p=0{,}85 et n=1000.
On obtient donc :
I = \left[0{,}85- 1{,}96\dfrac{\sqrt{0{,}85\times 0{,}15}}{\sqrt{1000}}; 0{,}85+1{,}96\dfrac{\sqrt{0{,}85\times 0{,}15}}{\sqrt{1000}}\right]
En arrondissant la borne inférieure par défaut et la borne supérieure par excès, on obtient :
I=[0{,}827;0{,}873]
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% pour la fréquence des laitues de taille suffisante sur un échantillon aléatoire de 1000 laitues est :
I=[0{,}827;0{,}873]
Peut-on affirmer que l'agriculteur a raison ?
L'agriculteur pense que 85% de ses laitues arrivées à maturité sont de taille suffisante pour être vendues.
Notons f la fréquence des laitues de taille suffisante sur l'échantillon.
f=\dfrac{810}{1000}=0{,}81
Donc f\notin I.
On peut affirmer au risque d'erreur de 5% que l'agriculteur s'est trompé.