Un chef d'entreprise affirme que 99% de ses produits ne présentent aucun défaut.
Dans un lot de 600 produits, un client constate que 5 présentent un défaut de fabrication.
On peut assimiler le choix d'un échantillon de 600 produits dans la production à un tirage avec remise.
Supposons que le chef d'entreprise ait raison.
Notons X la variable aléatoire associant à chaque échantillon de 600 produits le nombre de produits ne présentant aucun défaut.
Quelle est la loi de X ?
L'expérience "choisir un produit" a deux issues possibles :
- Succès : le produit ne présente pas de défaut de fabrication, obtenu avec la probabilité p = 0{,}99.
- Echec : le produit présente un défaut de fabrication, obtenu avec la probabilité q = 1-p = 0{,}01.
Cette expérience est répétée 600 fois de manière indépendante (le choix d'un produit est assimilé à un tirage avec remise).
X est la variable aléatoire qui dénombre les succès.
Donc X suit une loi binomiale de paramètres n=600 et p=0{,}99.
On souhaite valider ou rejeter l'affirmation du chef d'entreprise.
Quelle proposition correspond à un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% pour la fréquence des produits sans défaut sur un échantillon de 600 produits ?
Vérifications des conditions
D'après le cours on sait qu'on peut déterminer un intervalle de fluctuation si les conditions suivantes sont satisfaites :
- n \geq 30
- np \geq 5
- n\left(1-p\right) \geq 5
Ici, on a :
- n=600, donc n\geq30
- np = 600\times 0{,}99= 594, donc np\geq 5
- n\left(1-p\right) = 3\ 000 \times \left(1-0{,}99\right)= 6, donc n\left(1-p\right)\geq5
On peut donc déterminer un intervalle de fluctuation asymptotique.
Calcul d'un intervalle de fluctuation asymptotique
D'après le cours, un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil 95% de la fréquence est :
I = \left[ p- 1{,}96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}; p+ 1{,}96\dfrac{\sqrt{p(1-p)}}{\sqrt n}\right]
Ici, on a p=0{,}99 et n=600.
On obtient donc :
I = \left[0{,}99- 1{,}96\dfrac{\sqrt{0{,}99\times 0{,}01}}{\sqrt{600}}; 0{,}99+1{,}96\dfrac{\sqrt{0{,}99\times 0{,}01}}{\sqrt{600}}\right]
En arrondissant la borne inférieure par défaut et la borne supérieure par excès, on obtient :
I=[0{,}982;0{,}998]
Un intervalle de fluctuation asymptotique au seuil de 95% pour la fréquence des pièces sans défaut sur un échantillon aléatoire de 600 pièces est :
I=[0{,}982;0{,}998]
Peut-on affirmer que le vendeur de stylos a raison ?
Le chef d'entreprise a affirmé que 99% de ses produits ne présentent pas de défaut de fabrication.
Notons f la fréquence des pièces sans défaut sur l'échantillon.
f=\dfrac{595}{600}\approx 0{,}992 (arrondi par excès)
Donc f\in I.
On peut affirmer au risque d'erreur de 5% que le chef d'entreprise a raison.