Terminale ES 2015-2016
Kartable
Terminale ES 2015-2016

La fonction exponentielle

I

Les exponentielles de base q

A

Définitions

Fonction exponentielle de base q

Soit q un réel strictement positif. La fonction qui, à tout entier relatif n, associe qn, se prolonge en une fonction définie sur . On note qx l'image d'un réel x et on appelle fonction exponentielle de base q la fonction f définie par :

f(x)=qx

La fonction définie sur par f(x)=3x est la fonction exponentielle de base 3.

Racine n-ième

Pour tout entier naturel non nul n et q réel strictement positif, on appelle racine n-ième de q le réel :

q1n

On a alors :

(q1n)n=q

Le nombre 614 est la racine quatrième de 6.

B

La relation fonctionnelle

Relation fonctionnelle

Pour tous réels x, y quelconques et q strictement positif :

qx+y=qx×qy

73×76=73+6=79

C

Les propriétés algébriques

Soient q et q' deux réels strictement positifs, et soient x et y deux réels quelconques. Alors :

qx=1qx

(q)x×(q)x=(qq)x

(qx)y=qxy

qxqy=qxy

73,2=173,2

24,2×34,2=(2×3)4,2=64,2

(4,52)3=4,52×3=4,56

1,671,65=1,675=1,62

D

Le sens de variation

Sens de variation

Le sens de variation d'une fonction exponentielle de base q dépend de la valeur de q :

  • Si q>1, la fonction exponentielle de base q est croissante sur
  • Si 0<q<1, la fonction exponentielle de base q est décroissante sur
  • Si q=1, la fonction exponentielle de base q est constante sur
-

Soit q un réel strictement positif. La fonction exponentielle de base q est convexe sur .

II

L'exponentielle de base e

A

La caractérisation

Fonction exponentielle de base e

La fonction exponentielle de base e (ou simplement fonction exponentielle), notée exp, est la fonction définie sur par :

exp(x)=ex

e est l'unique réel q tel que le nombre dérivé de l'exponentielle de base q en 0 soit égal à 1.

  • Pour tous réels x et y : exp(x+y)=exp(x)×exp(y)
  • e=exp(1)2,718.
L'écriture courante de exp(x) est ex.
B

Le signe

Pour tout réel x :

ex>0

C

Les propriétés algébriques

Soient deux réels x et y :

ex=eyx=y

ex<eyx<y

Soient deux réels x et y. La fonction exponentielle vérifie les règles opératoires des puissances :

ex+y=exey

ex=1ex

exy=exey

(ex)y=exy

III

Etude de la fonction exponentielle

A

La dérivée

Dérivée

La fonction exponentielle est dérivable sur . Pour tout réel x, on a :

exp(x)=exp(x)=ex

Dérivée de eu

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. La composée eu est alors dérivable sur I, et pour tout réel x de I :

(eu)(x)=u(x)eu(x)

Considérons la fonction f définie sur par f(x)=e3x+6. f est définie et dérivable sur . On pose, pour tout réel x :

  • u(x)=3x+6
  • u(x)=3

On a f=eu, donc f=ueu.

Ainsi, pour tout réel x :

f(x)=3e3x+6

B

Le sens de variation

Sens de variation

La fonction exponentielle est strictement croissante sur .

-

La droite d'équation y=x+1 est tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse 0.

-

La fonction exponentielle est convexe.

pub

Demandez à vos parents de vous abonner

Vous ne possédez pas de carte de crédit et vous voulez vous abonner à Kartable.

Vous pouvez choisir d'envoyer un SMS ou un email à vos parents grâce au champ ci-dessous. Ils recevront un récapitulatif de nos offres et pourront effectuer l'abonnement à votre place directement sur notre site.

J'ai une carte de crédit

Vous utilisez un navigateur non compatible avec notre application. Nous vous conseillons de choisir un autre navigateur pour une expérience optimale.