Terminale ES 2015-2016

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Calculer l'espérance d'une variable aléatoire continue

Méthode 1

Reconnaître une loi classique

L'espérance d'une variable aléatoire X de densité f peut se déterminer en remarquant que la loi de X est une loi classique dont on connaît l'espérance d'après le cours.

Soit f la fonction définie sur \(\displaystyle{\left[ 2;8 \right]}\) par :

\(\displaystyle{f\left( x \right)=\dfrac{1}{6}}\)

Soit X une variable aléatoire admettant f pour densité de probabilité.

Calculer \(\displaystyle{E\left( X \right)}\).

Etape 1

Identifier la fonction de densité d'une loi classique

On remarque qu'une densité f de X est la densité d'une loi uniforme, exponentielle ou normale centrée réduite :

  • Si f est définie sur un intervalle \(\displaystyle{\left[a;b\right]}\) et est de la forme \(\displaystyle{f:x\longmapsto \dfrac{1}{b-a}}\), on reconnaît une densité d'une loi uniforme sur \(\displaystyle{\left[a;b\right]}\).
  • Si f est définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+}}\) et est de la forme \(\displaystyle{f:x\longmapsto \lambda e^{-\lambda x}}\), on reconnaît une densité d'une loi exponentielle de paramètre \(\displaystyle{\lambda}\).
  • Si f est définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) et est de la forme \(\displaystyle{f:x\longmapsto \dfrac{1}{\sqrt{2\pi}}e^{-\frac{x^2}{2}}}\), on reconnaît une densité d'une loi normale centrée réduite.

On a :

\(\displaystyle{\forall x\in \left[ 2;8 \right], f\left( x \right)=\dfrac{1}{8-2}}\)

En posant \(\displaystyle{a=2}\) et \(\displaystyle{b=8}\), f est donc définie sur \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\) et est de la forme \(\displaystyle{f:x\longmapsto \dfrac{1}{b-a}}\).

Ainsi, f est une densité de la loi uniforme sur \(\displaystyle{\left[ 2;8 \right]}\).

Etape 2

En conclure la valeur de l'espérance

Les espérances de ces lois classiques étant données par le cours, on peut conclure :

  • Si f est une densité d'une loi uniforme sur \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\), l'espérance de X vaut \(\displaystyle{\dfrac{a+b}{2}}\).
  • Si f est une densité d'une loi exponentielle de paramètre \(\displaystyle{\lambda}\), l'espérance de X vaut \(\displaystyle{\dfrac{1}{\lambda}}\).
  • Si f est une densité d'une loi normale centrée réduite, l'espérance de X vaut 0.

f étant une densité d'une loi uniforme sur \(\displaystyle{\left[ 2;8 \right]}\), on peut conclure :

\(\displaystyle{E\left( X \right)=\dfrac{2+8}{2}=5}\)

Méthode 2

Pour une loi quelconque

Si X est une variable aléatoire admettant pour densité la fonction f définie sur \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\), l'espérance de X se calcule avec la formule suivante :

\(\displaystyle{E\left( X \right)=\int_{a}^{b} tf\left(t\right) \ \mathrm dt}\)

Soit f la fonction de densité définie sur \(\displaystyle{\left[ 1;2 \right]}\) par :

\(\displaystyle{f\left( x \right)=\dfrac{2}{x^2}}\)

Soit X une variable aléatoire admettant f pour densité de probabilité.

Calculer \(\displaystyle{E\left( X \right)}\).

Etape 1

Identifier une fonction de densité de X

On donne une densité de la variable X et l'intervalle de la forme \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\) sur lequel cette fonction est définie.

Une densité de X est la fonction f définie sur \(\displaystyle{\left[ 1;2 \right]}\) par :

\(\displaystyle{f\left( x \right)=\dfrac{2}{x^2}}\)

Etape 2

Calculer \(\displaystyle{\int_{a}^{b} tf\left(t\right) \ \mathrm dt}\)

On calcule cette intégrale en deux étapes :

  • On détermine G, une primitive de \(\displaystyle{t\longmapsto tf\left(t\right)}\) sur \(\displaystyle{\left[ a;b \right]}\).
  • On calcule la différence \(\displaystyle{G\left( b \right)-G\left( a \right)}\).

On a alors :

\(\displaystyle{\int_{a}^{b} tf\left(t\right) \ \mathrm dt=G\left( b \right)-G\left( a \right)}\)

On a :

\(\displaystyle{\forall t \in \left[ 1;2 \right], tf\left( t \right)=\dfrac{2t}{t^2}=\dfrac{2}{t}}\)

Donc, \(\displaystyle{G:t\longmapsto 2 \ln\left(t\right)}\) est une primitive de \(\displaystyle{t\longmapsto tf\left( t \right)}\) sur \(\displaystyle{\left[ 1;2 \right]}\).

On a donc :

\(\displaystyle{\int_{1}^{2} tf\left(t\right) \ \mathrm dt=G\left( 2\right)-G\left( 1 \right)=2\ln\left(2\right)-2\ln\left(1\right)}\)

Comme \(\displaystyle{\ln\left(1\right)=0}\) et \(\displaystyle{2\ln\left(2\right)=\ln\left(2^{2}\right)}\), on a :

\(\displaystyle{\int_{1}^{2} tf\left(t\right) \ \mathrm dt=\ln\left(4\right)}\)

Etape 3

Conclure

On peut conclure :

\(\displaystyle{E\left( X \right)=\int_{a}^{b} tf\left(t\right) \ \mathrm dt=G\left( b \right)-G\left( a \right)}\)

On peut donc conclure :

\(\displaystyle{E\left( X \right)=\int_{1}^{2} tf\left(t\right) \ \mathrm dt=\ln\left(4\right)}\)