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La fonction exponentielle

I

Les exponentielles de base \(\displaystyle{q}\)

A

Définitions

Fonction exponentielle de base \(\displaystyle{q}\)

Soit q un réel strictement positif. La fonction qui, à tout entier relatif n, associe \(\displaystyle{q^n}\), se prolonge en une fonction définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\). On note \(\displaystyle{q^x}\) l'image d'un réel x et on appelle fonction exponentielle de base q la fonction f définie par :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = q^{x}}\)

La fonction définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=3^x}\) est la fonction exponentielle de base 3.

Racine n-ième

Pour tout entier naturel non nul n et q réel strictement positif, on appelle racine n-ième de q le réel :

\(\displaystyle{q^{\frac1n}}\)

On a alors :

\(\displaystyle{ \left( q^{\frac1n} \right)^n = q }\)

Le nombre \(\displaystyle{6^{\frac14}}\) est la racine quatrième de 6.

B

La relation fonctionnelle

Relation fonctionnelle

Pour tous réels x, y quelconques et q strictement positif :

\(\displaystyle{q^{x+y} = q^x \times q^y}\)

\(\displaystyle{7^3\times 7^6=7^{3+6}=7^9}\)

C

Les propriétés algébriques

Soient q et q' deux réels strictement positifs, et soient x et y deux réels quelconques. Alors :

\(\displaystyle{q^{-x}=\dfrac{1}{q^x}}\)

\(\displaystyle{\left(q\right)^x\times \left(q'\right) ^x=\left(qq'\right)^x}\)

\(\displaystyle{\left(q^x\right)^y=q^{xy}}\)

\(\displaystyle{\dfrac{q^x}{q^y}=q^{x-y}}\)

\(\displaystyle{7^{-3,2}=\dfrac{1}{7^{3,2}}}\)

\(\displaystyle{2^{4,2}\times 3^{4,2}=\left(2\times3\right)^{4,2}=6^{4,2}}\)

\(\displaystyle{\left(4,5^2\right)^3=4,5^{2\times3}=4,5^6}\)

\(\displaystyle{\dfrac{1,6^7}{1,6^5}=1,6^{7-5}=1,6^2}\)

D

Le sens de variation

Sens de variation

Le sens de variation d'une fonction exponentielle de base q dépend de la valeur de q :

  • Si \(\displaystyle{q \gt 1}\), la fonction exponentielle de base q est croissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
  • Si \(\displaystyle{0\lt q \lt 1}\), la fonction exponentielle de base q est décroissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
  • Si \(\displaystyle{q = 1}\), la fonction exponentielle de base q est constante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
-

Soit q un réel strictement positif. La fonction exponentielle de base q est convexe sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

II

L'exponentielle de base e

A

La caractérisation

Fonction exponentielle de base \(\displaystyle{e}\)

La fonction exponentielle de base \(\displaystyle{e}\) (ou simplement fonction exponentielle), notée \(\displaystyle{\exp}\), est la fonction définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par :

\(\displaystyle{\exp\left(x\right) = e^{x}}\)

e est l'unique réel q tel que le nombre dérivé de l'exponentielle de base q en 0 soit égal à 1.

  • Pour tous réels x et y : \(\displaystyle{\exp\left(x + y\right) = \exp\left(x\right) \times \exp\left(y\right)}\)
  • \(\displaystyle{e=\exp\left(1\right) \approx 2,718}\).
L'écriture courante de \(\displaystyle{\exp\left(x\right)}\) est \(\displaystyle{e^{x}}\) .
B

Le signe

Pour tout réel x :

\(\displaystyle{e^{x} \gt 0}\)

C

Les propriétés algébriques

Soient deux réels x et y :

\(\displaystyle{e^{x} = e^{y} \Leftrightarrow x = y}\)

\(\displaystyle{e^{x} \lt e^{y} \Leftrightarrow x \lt y}\)

Soient deux réels x et y. La fonction exponentielle vérifie les règles opératoires des puissances :

\(\displaystyle{e^{x+y} = e^{x} e^{y}}\)

\(\displaystyle{e^{-x} =\dfrac{1}{e^x}}\)

\(\displaystyle{e^{x-y} =\dfrac{e^x}{e^{y}}}\)

\(\displaystyle{\left(e^{x}\right)^{y} = e^{xy}}\)

III

Etude de la fonction exponentielle

A

La dérivée

Dérivée

La fonction exponentielle est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\). Pour tout réel x, on a :

\(\displaystyle{\exp'\left(x\right) = \exp\left(x\right) = e^{x}}\)

Dérivée de \(\displaystyle{e^{u}}\)

Soit u une fonction dérivable sur un intervalle I. La composée \(\displaystyle{e^{u}}\) est alors dérivable sur I, et pour tout réel x de I :

\(\displaystyle{\left(e^{u}\right)'\left(x\right) = u'\left(x\right) e^{u\left(x\right)}}\)

Considérons la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=e^{3x+6}}\). f est définie et dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\). On pose, pour tout réel x :

  • \(\displaystyle{u\left(x\right)=3x+6}\)
  • \(\displaystyle{u'\left(x\right)=3}\)

On a \(\displaystyle{f=e^u}\), donc \(\displaystyle{f'=u'e^u}\).

Ainsi, pour tout réel x :

\(\displaystyle{f'\left(x\right)=3e^{3x+6}}\)

B

Le sens de variation

Sens de variation

La fonction exponentielle est strictement croissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\).

-

La droite d'équation \(\displaystyle{y = x + 1}\) est tangente à la courbe représentative de la fonction exponentielle au point d'abscisse 0.

-

La fonction exponentielle est convexe.

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