Terminale ES 2015-2016
Kartable
Terminale ES 2015-2016

Reconnaître une fonction densité de probabilité

La fonction f est une densité de probabilité sur un intervalle I=[a;b] si et seulement si f est continue et positive ou nulle sur I, et si baf(x)dx=1.

Montrer que la fonction f, définie sur [0;1] par f(x)=2x est une densité de probabilité.

Etape 1

Rappeler les conditions

On rappelle que la fonction f est une densité de probabilité sur un intervalle I=[a;b] si et seulement si :

  • f est continue sur I
  • f est positive ou nulle sur I
  • baf(x)dx=1

La fonction f est une densité de probabilité sur [0;1] si et seulement si :

  • f est continue sur [0;1]
  • f est positive ou nulle sur [0;1]
  • 10f(x)dx=1
Etape 2

Justifier que f est continue

On justifie que la fonction f est continue sur l'intervalle I=[a;b] sur lequel elle est définie.

La fonction f est continue sur [0;1] en tant que restriction d'une fonction affine sur [0;1].

Etape 3

Justifier que f est positive

On démontre que, xI, f(x)0.

x[0;1], 2x0.

Donc la fonction f est positive ou nulle sur [0;1].

Etape 4

Calculer l'intégrale

On calcule baf(x)dx.

On vérifie que cette intégrale vaut 1.

Si I=[0;+[, on ne sait pas calculer +0f(t)dt, on calcule donc x0f(t)dt et on montre que limx+x0f(t)dt=1.

10f(x)dx=102xdx

Ainsi :

10f(x)dx=[x2]10

10f(x)dx=1202

10f(x)dx=1

Etape 5

Conclure

Si la fonction f vérifie bien ces trois conditions, f est donc une densité de probabilité sur I=[a;b].

Les trois conditions sont bien vérifiées. La fonction f est donc une densité de probabilité sur [0;1].

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