Terminale L 2015-2016
Kartable
Terminale L 2015-2016

Calculer l'espérance d'une variable aléatoire continue

Méthode 1

Reconnaître une loi classique

L'espérance d'une variable aléatoire X de densité f peut se déterminer en remarquant que la loi de X est une loi classique dont on connaît l'espérance d'après le cours.

Soit f la fonction définie sur [2;8] par :

f(x)=16

Soit X une variable aléatoire admettant f pour densité de probabilité.

Calculer E(X).

Etape 1

Identifier la fonction de densité d'une loi classique

On remarque qu'une densité f de X est la densité d'une loi uniforme, exponentielle ou normale centrée réduite :

  • Si f est définie sur un intervalle [a;b] et est de la forme f:x1ba, on reconnaît une densité d'une loi uniforme sur [a;b].
  • Si f est définie sur + et est de la forme f:xλeλx, on reconnaît une densité d'une loi exponentielle de paramètre λ.
  • Si f est définie sur et est de la forme f:x12πex22, on reconnaît une densité d'une loi normale centrée réduite.

On a :

x[2;8],f(x)=182

En posant a=2 et b=8, f est donc définie sur [a;b] et est de la forme f:x1ba.

Ainsi, f est une densité de la loi uniforme sur [2;8].

Etape 2

En conclure la valeur de l'espérance

Les espérances de ces lois classiques étant données par le cours, on peut conclure :

  • Si f est une densité d'une loi uniforme sur [a;b], l'espérance de X vaut a+b2.
  • Si f est une densité d'une loi exponentielle de paramètre λ, l'espérance de X vaut 1λ.
  • Si f est une densité d'une loi normale centrée réduite, l'espérance de X vaut 0.

f étant une densité d'une loi uniforme sur [2;8], on peut conclure :

E(X)=2+82=5

Méthode 2

Pour une loi quelconque

Si X est une variable aléatoire admettant pour densité la fonction f définie sur [a;b], l'espérance de X se calcule avec la formule suivante :

E(X)=batf(t) dt

Soit f la fonction de densité définie sur [1;2] par :

f(x)=2x2

Soit X une variable aléatoire admettant f pour densité de probabilité.

Calculer E(X).

Etape 1

Identifier une fonction de densité de X

On donne une densité de la variable X et l'intervalle de la forme [a;b] sur lequel cette fonction est définie.

Une densité de X est la fonction f définie sur [1;2] par :

f(x)=2x2

Etape 2

Calculer batf(t) dt

On calcule cette intégrale en deux étapes :

  • On détermine G, une primitive de ttf(t) sur [a;b].
  • On calcule la différence G(b)G(a).

On a alors :

batf(t) dt=G(b)G(a)

On a :

t[1;2],tf(t)=2tt2=2t

Donc, G:t2ln(t) est une primitive de ttf(t) sur [1;2].

On a donc :

21tf(t) dt=G(2)G(1)=2ln(2)2ln(1)

Comme ln(1)=0 et 2ln(2)=ln(22), on a :

21tf(t) dt=ln(4)

Etape 3

Conclure

On peut conclure :

E(X)=batf(t) dt=G(b)G(a)

On peut donc conclure :

E(X)=21tf(t) dt=ln(4)

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