Terminale S 2016-2017
Kartable
Terminale S 2016-2017

Les lois à densité

I

Loi uniforme

Loi uniforme sur [a ; b]

Fonction de densité sur [a;b]f(x)=1ba
Probabilité

Pour tous réels c et d tels que acdb :

P(cXd)=dcba

EspéranceE(X)=a+b2
II

Loi exponentielle

Loi exponentielle de paramètre λ>0

Fonction de densité sur [0;+[f(t)=λeλt
Probabilité

P(aXb)=baλeλt dt

EspéranceE(X)=1λ

Soit un réel positif a.

  • P(Xa)=a0λeλt dt=1eλa
  • P(X>a)=1P(Xa)=eλa

Loi de durée de vie sans vieillissement

Soit T une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ (λ>0).

Pour tous réels positifs t et h :

PTt(Tt+h)=P(Th)

III

Loi normale

Loi normale centrée réduite N(0;1)

Fonction de densité sur f(x)=12πex22
Probabilité

P(Xa)=12πaet22 dt

EspéranceE(X)=0
VarianceV(X)=1

Loi normale (μ;σ2)

DéfinitionUne variable aléatoire X suit la loi normale (μ;σ2) si la variable aléatoire Xμσ suit la loi normale centrée réduite.
EspéranceE(X)=μ
VarianceV(X)=σ2

Valeurs remarquables de la loi normale

Si X suit la loi normale (μ;σ2), on a les valeurs remarquables suivantes :

P(μσXμ+σ)0,68

P(μ2σXμ+2σ)0,95

P(μ3σXμ+3σ)0,997

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