Terminale S 2015-2016
Kartable
Terminale S 2015-2016

Les lois à densité

I

La densité de probabilité

On considère une expérience aléatoire et un univers associé Ω, muni d'une probabilité P.

Variable aléatoire continue

Une variable aléatoire continue est une fonction X qui à chaque événement élémentaire de Ω associe un nombre réel d'un intervalle I de .

Loi de probabilité continue et densité de probabilité

Soit f une fonction continue et positive ou nulle sur un intervalle I de telle que If(x) dx=1.

Soit X une variable aléatoire continue sur Ω.

On dit que f est une densité de probabilité de X si, pour tout intervalle J inclus dans I :

p(XJ)=Jf(x) dx

Considérons la fonction f définie sur [0;2] par f(x)=x2 :

  • f est continue sur [0;2].
  • f est positive sur [0;2].
  • Une primitive de f sur [0;2] est la fonction F définie sur [0;2] par F(x)=x24. Donc 20f(x) dx=F(2)F(0)=440=1.

Cette fonction est donc une fonction de densité sur [0;2].

  • Si I=[a;+[, on a : If(x) dx=limb+baf(x) dx
  • Si I=];b[, on a : If(x) dx=limabaf(x) dx
  • Si I=, on a : If(x) dx=lima;b+baf(x) dx
  • Si I=[a;b] et J=[c;d][a;b], on a : p(XJ)=dcf(x) dx

Pour tous réels a et b de I tels que ab :

p(X[a;b])=p(aXb)

Si X est une variable aléatoire admettant une densité de probabilité, alors pour tout réels a et b tels que ab :

  • p(X[a;b])=p(X[a;b[)=p(X]a;b])=p(X]a;b[)
  • p(X[a;a])=p(X=a)=0
  • p(aXb)=p(Xb)p(Xa)
  • p(Xa)+p(X>a)=1

Espérance

L'espérance d'une variable aléatoire X de densité f sur un intervalle [a;b] est :

E(X)=baxf(x) dx

II

La loi uniforme sur [a;b]

Loi uniforme

Une variable aléatoire X suit la loi uniforme sur l'intervalle [a;b] (a<b) si elle admet pour densité la fonction f définie sur [a;b] par :

f(x)=1ba

Si X suit une loi uniforme sur l'intervalle [4;6] alors une densité de probabilité de X est la fonction f définie pour tout x de [4;6] par : f(x)=164=12.

Si X suit la loi uniforme sur l'intervalle [a;b] (avec a<b ), alors pour tous réels c et d tels que acdb :

p(cXd)=dcba

Si X suit la loi uniforme sur l'intervalle [2;5], alors :

p(3X4)=4352=13

La valeur de p(X[c;d]) est égale à l'aire de la surface comprise entre la droite d'équation y=1ba, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=c et x=d.

-

Espérance d'une loi uniforme

Si X suit la loi uniforme sur l'intervalle [a;b], son espérance est alors égale à :

E(X)=a+b2

Si X suit la loi uniforme sur l'intervalle [2;5], alors :

E(X)=2+52=72

III

Les lois exponentielles

Loi exponentielle

Soit λ un réel strictement positif.
La loi exponentielle de paramètre λ (ou loi de durée de vie sans vieillissement) a pour densité de probabilité la fonction f définie pour tout réel positif par :

f(t)=λeλt

La fonction définie sur [0;+[ par f(x)=3e3x est une densité de probabilité de la loi exponentielle de paramètre 3.

Probabilité d'une loi exponentielle

Si X suit la loi exponentielle de paramètre λ, et si a et b sont deux réels positifs vérifiant ab :

P(aXb)=baλeλt dt

Si X suit une loi exponentielle de paramètre λ=2 alors :

P(5X7)=752e2t dt=[e2t]75=e14+e10

La valeur de P(X[a;b]) est égale à l'aire de la surface comprise entre la courbe d'équation y=λeλt, l'axe des abscisses et les droites d'équation x=a et x=b.

-

Soit X une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ (λ>0). Soit un réel positif a.

  • p(Xa)=a0λeλt dt=1eλa
  • p(X>a)=1P(Xa)=eλa

Si X suit une loi exponentielle de paramètre λ=2 alors :

P(X3)=1e2×3=1e6

P(X>4)=e2×4=e8

Loi de durée de vie sans vieillissement

Soit T une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ (λ>0).

Pour tous réels positifs t et h :

pTt(Tt+h)=p(Th)

Soit T une variable aléatoire suivant la loi exponentielle de paramètre λ=2.

pT1(T5)=pT1(T1+4)=p(T4)

Cette propriété montre que la durée de vie T sur un laps de temps h, ne dépend pas de l'âge t à partir duquel on considère cet événement.

Espérance d'une loi exponentielle

Si X suit une loi exponentielle de paramètre λ>0 alors :

E(X)=1λ

Si X suit une loi exponentielle de paramètre λ=10 alors : E(X)=110=0,1.

IV

La loi normale centrée réduite

Loi normale centrée réduite

Une variable aléatoire X suit la loi normale centrée réduite notée (0;1) si elle admet pour densité la fonction de Gauss normalisée f définie sur par :

f(x)=12πex22

Probabilité d'une loi normale centrée réduite

Si X suit la loi normale centrée réduite, alors :

p(Xa)=limx12πaxet22 dt

La valeur de p(Xa) est égale à l'aire de la surface comprise entre la courbe d'équation y=12πex22, l'axe des abscisses et la droite d'équation x=a.

-

Si X suit la loi normale centrée réduite, alors pour tout réel α de ]0;1[ il existe un unique réel positif uα tel que :

p(uαXuα)=1α

On a en particulier :

  • u0,051,96
  • u0,012,58
-

Espérance de la loi normale centrée réduite

Si X suit la loi normale centrée réduite, son espérance est alors égale à :

E(X)=0

De façon similaire au cas des variables aléatoires discrètes, on peut définir la variance et l'écart-type d'une variable aléatoire continue par les formules :

V(X)=E(X2)(E(X))2

σ(X)=V(X)

Variance de la loi normale centrée réduite

Si X suit la loi normale centrée réduite, sa variance (et son écart-type) est alors égale à :

V(X)=1

N'ayant pas de primitive de la fonction de densité correspondant à une variable aléatoire suivant une loi N(0;1), on a besoin de la calculatrice pour déterminer des probabilités d'événements.

V

La loi normale générale

Loi normale (μ;σ2)

Une variable aléatoire X suit la loi normale (μ;σ2) (μ, σ+) si et seulement si la variable aléatoire Xμσ suit la loi normale centrée réduite.

Espérance d'une loi normale

Si X suit la loi normale (μ;σ2), son espérance est alors égale à :

E(X)=μ

Variance d'une loi normale

Si X suit la loi normale (μ;σ2), sa variance est alors égale à :

V(X)=σ2

et son écart-type est donc égal à σ.

-

On observe que plus σ augmente, plus la courbe de la densité de la loi normale (μ;σ2) est "aplatie". De plus, cette courbe est centrée sur la moyenne, c'est-à-dire symétrique par rapport à la droite d'équation x=μ.

Si μ=0 et σ=1, on retrouve la courbe de Gauss normalisée, soit la loi normale centrée réduite.

Si X suit la loi normale (μ;σ2), on a les valeurs remarquables suivantes :

p(μσXμ+σ)0,683

p(μ2σXμ+2σ)0,954

p(μ3σXμ+3σ)0,997

N'ayant pas de primitive de la fonction de densité correspondant à une variable aléatoire suivant une loi N(μ;σ2), on a besoin de la calculatrice pour déterminer des probabilités d'événements.

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