Première S 2016-2017
Kartable
Première S 2016-2017

Les fonctions de référence

I

Les fonctions affines

A

Définition

Fonction affine

Une fonction f est dite affine si elle est définie sur et si elle admet une expression du type :

f(x)=ax+b

a et b sont des réels quelconques.

La fonction définie sur par f(x)=2x+5 est une fonction affine.

B

Le sens de variation

On considère une fonction f affine d'expression f(x)=ax+b.

Cas 1

Si a>0, f est strictement croissante sur

-
Cas 2

Si a<0, f est strictement décroissante sur

-

La fonction affine définie par f(x)=7x1 est une fonction croissante car a=7>0.

La fonction affine définie par f(x)=3x+4 est une fonction décroissante car a=3<0.

C

La courbe représentative

La courbe représentative de la fonction affine f, d'expression f(x)=ax+b, est la droite d'équation y=ax+b.

  • Si a=0, la fonction est constante égale à b, et sa droite représentative est parallèle à l'axe des abscisses.
  • Si b=0, la fonction est dite linéaire, et sa droite représentative passe par l'origine du repère.

On considère une fonction f affine d'expression f(x)=ax+b.

Cas 1

Si a>0

-

La fonction représentée ci-dessus est la fonction affine définie pour tout réel x par : f(x)=x+1

Cas 2

Si a<0

-

La fonction représentée ci-dessus est la fonction affine définie pour tout réel x par : f(x)=x+1

Cas 3

Si a=0

-

La fonction représentée ci-dessus est la fonction affine définie pour tout réel x par : f(x)=3

II

La fonction carré

A

Définition

Fonction carré

La fonction carré f est définie pour tout réel x par :

f(x)=x2

B

Le sens de variation

La fonction carré est :

  • Décroissante sur ];0]
  • Croissante sur [0;+[

Son tableau de variations est le suivant :

-
C

La courbe représentative

La courbe représentative de la fonction carré est une parabole dont le sommet est l'origine O du repère.

-
III

La fonction racine carrée

A

Définition

Fonction racine carrée

La fonction racine carrée f est définie sur + par :

f(x)=x

B

Le sens de variation

La fonction racine carrée est croissante sur +. Son tableau de variations est le suivant :

-

Soient deux réels positifs a et b tels que 0a<b. Comparons alors a et b.

ab=(ab)(a+b)a+b=(a)2(b)2a+b=aba+b

Pour tout a et b tels que 0a<b, on a a+b>0 et ab<0.

Par conséquent ab<0a<b.

La fonction racine carrée est donc croissante sur +.

C

La courbe représentative

La courbe représentative de la fonction racine carrée est la suivante :

-
D

Croissances comparées

Sur [1,+[, la fonction carré croît plus vite que la fonction identité (f(x)=x), qui, elle-même, croît plus vite que la fonction racine carrée.

Sur [0,1[, la fonction racine carrée croît plus vite que la fonction identité (f(x)=x), qui, elle-même, croît plus vite que la fonction carré.

-
IV

La fonction inverse

A

Définition

Fonction inverse

La fonction inverse f est définie sur par :

f(x)=1x

B

Le sens de variation

La fonction inverse est décroissante sur ];0[ et sur ]0;+[. Son tableau de variations est le suivant :

-
C

La courbe représentative

La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole dont le centre est l'origine O du repère.

-
V

La fonction valeur absolue

A

Définition

Fonction valeur absolue

La fonction valeur absolue f est définie sur par :

f(x)=|x|

où :

  • |x|=x si x0
  • |x|=x si x<0

Valeur absolue et distance

Soit a un réel fixé. Pour tout réel x, la distance d entre x et a est la valeur absolue de la différence de x et a.

d=|xa|

-

Résoudre une inéquation de la forme : |xa|b (b>0) revient à trouver les valeurs de x telles que la distance entre x et a soit inférieure à b.

||x6||5 équivaut à x[1;11].

En effet, quelle que soit la valeur de x[1;11], la distance entre x et 6 est inférieure ou égale à 5.

-
B

Le sens de variation

La fonction valeur absolue est décroissante sur ];0] et croissante sur [0;+[. Son tableau de variations est le suivant :

-
C

La courbe représentative

La courbe représentative de la fonction valeur absolue est la suivante :

-
VI

Opérations sur les fonctions et variations

Sens de variation de f+g

Si deux fonctions f et g ont même sens de variation sur l'intervalle I, la fonction f+g possède également le même sens de variation sur I.

Soit f et g deux fonctions définies sur [0;+[ par f(x)=x2 et g(x)=5x+1. Ces deux fonctions sont croissantes sur [0;+[.

La fonction h définie sur [0;+[ par h(x)=x2+5x+1 est la somme des fonctions f et g.

La fonction h est donc croissante sur [0;+[.

Sens de variation de kf avec k>0

Soit k un réel strictement positif.
La fonction kf possède le même sens de variation que la fonction f sur l'intervalle I.

Soit f la fonction définie sur [0;+[ par f(x)=x2. Cette fonction est croissante sur [0;+[.

La fonction h définie sur [0;+[ par h(x)=7x2 est le produit de la fonction f par 7 qui est positif.

La fonction h a donc le même sens de variation que f donc h est croissante sur [0;+[.

Sens de variation de kf avec k<0

Soit k un réel strictement négatif.
La fonction kf possède le sens de variation contraire à celui de la fonction f sur l'intervalle I.

Soit f la fonction définie sur ]0;+[ par f(x)=1x. f est décroissante sur ]0;+[.

La fonction h définie sur ]0;+[ par h(x)=5x est le produit de la fonction f par −5 qui est négatif.

La fonction h a donc le sens de variation contraire de f donc h est croissante sur ]0;+[.

Sens de variation de 1f

Si la fonction f est de signe constant et ne s'annule pas sur un intervalle I, alors les fonctions f et 1f ont des sens de variation contraires sur I.

Soit f(x)=1x une fonction définie et décroissante sur ]0;+[.

Cette fonction est de signe constant et ne s'annule pas sur ]0;+[.

La fonction h(x)=1f(x) définie sur ]0;+[ est l'inverse de la fonction f.

La fonction h a donc le sens de variation contraire de f donc h est croissante sur ]0;+[.

Sens de variation de f

Si la fonction f est positive sur un intervalle I, alors les fonctions f et f ont même sens de variation sur I.

Soit f la fonction définie sur ]0;+[ par f(x)=1x. f est décroissante sur ]0;+[.

Cette fonction est bien positive sur ]0;+[.

La fonction h définie sur ]0;+[ par h(x)=f(x) est la racine carrée de la fonction f.

La fonction h a donc le même sens de variation que celui de f donc h est décroissante sur ]0;+[.

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