Donner le sens de variation de l'inverse d'une fonctionMéthode

On sait déterminer le sens de variation de f=\dfrac{1}{g}g est une fonction aux variations connues.

Soit la fonction f définie sur son ensemble de définition par :

f\left(x\right) = \dfrac{1}{3x-4}

Donner le sens de variation de f et dresser son tableau de variations.

Etape 1

Déterminer le domaine de définition de la fonction

D'après le cours, on sait que \dfrac{1}{u\left(x\right)} existe si et seulement si u\left(x\right) \neq 0.

On résout donc l'équation u\left(x\right) = 0 pour déterminer l'ensemble de définition de f.

La fonction f est définie si et seulement si 3x-4 \neq 0.

On résout donc dans \mathbb{R} l'équation 3x-4 = 0.

On obtient :

x= \dfrac{4}{3}

On en déduit que le domaine de définition de f est : D_f = \mathbb{R}-\left\{ \dfrac{4}{3} \right\} ou D_f=\mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac{4}{3}\right\}.

Etape 2

Identifier la fonction usuelle

On donne l'expression de la fonction usuelle u telle que f = \dfrac{1}{u}.

On a \forall x \in \mathbb{R}-\left\{ \dfrac{4}{3}\right\}, f\left(x\right) = \dfrac{1}{u\left(x\right)}, avec u\left(x\right) = 3x-4.

Etape 3

Dresser le tableau de variations de u en précisant le signe de u\left(x\right)

On dresse le tableau de variations de la fonction usuelle u et on fait apparaître les zéros de cette fonction.

u est une fonction affine de coefficient directeur positif. Donc u est strictement croissante sur \mathbb{R}.

De plus, pour tout réel x :

u\left(x\right)=0\Leftrightarrow 3x-4=0 \Leftrightarrow x=\dfrac{4}{3}

On obtient donc le tableau de variations suivant :

-
Etape 4

Réciter le cours

D'après le cours, on sait que les fonctions u et f=\dfrac{1}{u} ont des sens de variation contraires sur tout intervalle où u\left(x\right) est de signe constant.

D'après le cours, on sait que les fonctions u et f=\dfrac{1}{u} ont des sens de variation contraires sur tout intervalle où u\left(x\right)\gt0.
De même, on sait que les fonctions u et f=\dfrac{1}{u} ont des sens de variation contraires sur tout intervalle où u\left(x\right)\lt0.

  • Sur \left] -\infty;\dfrac{4}{3} \right[, u est strictement croissante et u\left(x\right)\lt0. Donc f est strictement décroissante sur \left] -\infty;\dfrac{4}{3} \right[.
  • Sur \left] \dfrac{4}{3};+\infty \right[, u est strictement croissante et u\left(x\right)\gt0. Donc f est strictement décroissante sur \left] \dfrac{4}{3};+\infty \right[.
Etape 5

Calculer éventuellement le nouvel extremum

Si la fonction u possède un extremum et que son abscisse appartient à l'ensemble de définition de f, on détermine le nouvel extremum de la fonction f.

Sinon on détermine les valeurs aux bornes de l'ensemble de définition de f.

La fonction u étant une fonction affine, elle n'admet pas d'extremum sur \mathbb{R}.

Donc la fonction f n'admet pas d'extremum sur \mathbb{R}-\left\{ \dfrac{4}{3} \right\}.

Etape 6

Dresser le tableau de variations de la fonction

On dresse le tableau de variations de la fonction f.

On en déduit le tableau de variations de f :

-

Questions fréquentes

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