Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
|4x+3|=-2x+5
On écrit tout d'abord |4x+3| sans valeur absolue.
|4x+3|=\begin{cases} 4x+3 \ \ \ \ \ \text{si} \ 4x+3 \geqslant 0 \cr \cr -\left(4x+3\right) \ \ \text{si} \ 4x+3 \lt 0\end{cases}
|4x+3|=\begin{cases} 4x+3 \ \ \ \ \ \text{si} \ 4x \geqslant -3 \cr \cr -4x-3 \ \ \text{si} \ 4x \lt -3\end{cases}
|4x+3|=\begin{cases} 4x+3 \ \ \ \ \ \text{si} \ x \geqslant -\dfrac{3}{4} \cr \cr -4x-3 \ \ \text{si} \ x \lt -\dfrac{3}{4}\end{cases}
x\in\left[-\dfrac{3}{4};+\infty\right[
Comme x\in\left[-\dfrac{3}{4};+\infty\right[, alors |4x+3|=4x+3.
|4x+3|=-2x+5
\Leftrightarrow4x+3=-2x+5
\Leftrightarrow6x=2
\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{3}
\dfrac{1}{3} est bien dans l'intervalle \left[-\dfrac{3}{4};+\infty\right[, c'est donc une solution de l'équation.
x\in\left]-\infty;-\dfrac{3}{4}\right[
Comme x\in\left]-\infty;-\dfrac{3}{4}\right[, alors |4x+3|=-4x-3.
|4x+3|=-2x+5
\Leftrightarrow-4x-3=-2x+5
\Leftrightarrow-2x=8
\Leftrightarrow x=-4
-4 est bien dans l'intervalle \left]-\infty;-\dfrac{3}{4}\right[, c'est donc une solution de l'équation.
S=\left\{ -4;\dfrac{1}{3} \right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
|-5x+2|=-x+1
On écrit tout d'abord |-5x+2| sans valeur absolue.
|-5x+2|=\begin{cases} -5x+2 \ \ \ \ \ \text{si} \ -5x+2 \geqslant 0 \cr \cr -\left(-5x+2\right) \ \ \text{si} \ -5x+2 \lt 0\end{cases}
|-5x+2|=\begin{cases} -5x+2 \ \ \ \ \ \text{si} \ -5x \geqslant -2 \cr \cr 5x-2 \ \ \text{si} \ -5x \lt -2\end{cases}
|-5x+2|=\begin{cases} -5x+2 \ \ \ \ \ \text{si} \ x \leqslant \dfrac{2}{5} \cr \cr 5x-2 \ \ \text{si} \ x \gt \dfrac{2}{5}\end{cases}
x\in\left]-\infty;\dfrac{2}{5}\right]
Comme x\in\left]-\infty;\dfrac{2}{5}\right], alors |-5x+2|=-5x+2.
|-5x+2|=-x+1
\Leftrightarrow-5x+2=-x+1
\Leftrightarrow-4x=-1
\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{4}
\dfrac{1}{4} est bien dans l'intervalle \left]-\infty;\dfrac{2}{5}\right], c'est donc une solution de l'équation.
x\in\left]\dfrac{2}{5};+\infty\right[
Comme x\in\left]\dfrac{2}{5};+\infty\right[, alors |-5x+2|=5x-2.
|-5x+2|=-x+1
\Leftrightarrow5x-2=-x+1
\Leftrightarrow6x=3
\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{2}
\dfrac{1}{2} est bien dans l'intervalle \left]\dfrac{2}{5};+\infty\right[, c'est donc une solution de l'équation.
S=\left\{ \dfrac{1}{4};\dfrac{1}{2} \right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
2|3x+9|=4-x
On écrit tout d'abord |3x+9| sans valeur absolue.
|3x+9|=\begin{cases} 3x+9 \ \ \ \ \ \text{si} \ 3x+9 \geqslant 0 \cr \cr -\left(3x+9\right) \ \ \text{si} \ 3x+9 \lt 0\end{cases}
|3x+9|=\begin{cases} 3x+9 \ \ \ \ \ \text{si} \ 3x \geqslant -9 \cr \cr -3x-9 \ \ \text{si} \ 3x \lt -9\end{cases}
|3x+9|=\begin{cases} 3x+9 \ \ \ \ \ \text{si} \ x \geqslant -3 \cr \cr -3x-9 \ \ \text{si} \ x \lt -3\end{cases}
x\in\left[-3;+\infty\right[
Comme x\in\left[-3;+\infty\right[, alors |3x+9|=3x+9.
2|3x+9|=4-x
\Leftrightarrow2\left(3x+9\right)=4-x
\Leftrightarrow6x+18=4-x
\Leftrightarrow7x=-14
\Leftrightarrow x=-2
-2 est bien dans l'intervalle \left[-3;+\infty\right[, c'est donc une solution de l'équation.
x\in\left]-\infty;-3\right[
Comme x\in\left]-\infty;-3\right[, alors |3x+9|=-3x-9.
2|3x+9|=4-x
\Leftrightarrow2\left(-3x-9\right)=4-x
\Leftrightarrow-6x-18=4-x
\Leftrightarrow-5x=22
\Leftrightarrow x=-\dfrac{22}{5}
-\dfrac{22}{5} est bien dans l'intervalle \left]-\infty;-3\right[, c'est donc une solution de l'équation.
S=\left\{ -2;-\dfrac{22}{5} \right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
|-x+4|=3x+1
On écrit tout d'abord |-x+4| sans valeur absolue.
|-x+4|=\begin{cases} -x+4 \ \ \ \ \ \text{si} \ -x+4 \geqslant 0 \cr \cr -\left(-x+4\right) \ \ \text{si} \ -x+4 \lt 0\end{cases}
|-x+4|=\begin{cases} -x+4 \ \ \ \ \ \text{si} \ x \leqslant 4 \cr \cr x-4 \ \ \text{si} \ x \gt 4\end{cases}
x\in\left]-\infty;4\right]
Comme x\in\left]-\infty;4\right], alors |-x+4|=-x+4.
|-x+4|=3x+1
\Leftrightarrow-x+4=3x+1
\Leftrightarrow-4x=-3
\Leftrightarrow x=\dfrac{3}{4}
\dfrac{3}{4} est bien dans l'intervalle \left]-\infty;4\right], c'est donc une solution de l'équation.
x\in\left]4;+\infty\right[
Comme x\in\left]4;+\infty\right[, alors |-x+4|=x-4.
|-x+4|=3x+1
\Leftrightarrow x-4=3x+1
\Leftrightarrow-2x=5
\Leftrightarrow x=-\dfrac{5}{2}
-\dfrac{5}{2} n'appartient pas à l'intervalle \left]4;+\infty\right[, c'est ce n'est pas une solution de l'équation.
S=\left\{\dfrac{3}{4} \right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
-5+4x=-2|3-2x|
On écrit tout d'abord |3-2x| sans valeur absolue.
|3-2x|=\begin{cases} 3-2x \ \ \ \ \ \text{si} \ 3-2x \geqslant 0 \cr \cr -\left(3-2x\right) \ \ \text{si} \ 3-2x \lt 0\end{cases}
|3-2x|=\begin{cases} 3-2x \ \ \ \ \ \text{si} \ -2x \geqslant -3 \cr \cr -3+2x \ \ \text{si} \ -2x \lt -3\end{cases}
|3-2x|=\begin{cases} 3-2x \ \ \ \ \ \text{si} \ x \leqslant \dfrac{3}{2} \cr \cr -3+2x \ \ \text{si} \ x \gt \dfrac{3}{2}\end{cases}
x\in\left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right]
Comme x\in\left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right], alors |3-2x|=3-2x.
-5+4x=-2|3-2x|
\Leftrightarrow-5+4x=-2\left(3-2x\right)
\Leftrightarrow-5+4x=-6+4x
\Leftrightarrow-5=-6
Cette équation est impossible, donc il n'y a pas de solution dans \left]-\infty;\dfrac{3}{2}\right].
x\in\left]\dfrac{3}{2};+\infty\right[
Comme x\in\left]\dfrac{3}{2};+\infty\right[, alors |3-2x|=-3+2x.
-5+4x=-2|3-2x|
\Leftrightarrow-5+4x=-2\left(-3+2x\right)
\Leftrightarrow-5+4x=6-4x
\Leftrightarrow8x=11
\Leftrightarrow x=\dfrac{11}{8}
\dfrac{11}{8} n'appartient pas à l'intervalle \left]\dfrac{3}{2};+\infty\right[, c'est ce n'est pas une solution de l'équation.
S=\varnothing
Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
4-2x=3|-x+1|
On écrit tout d'abord |-x+1| sans valeur absolue.
|-x+1|=\begin{cases} -x+1 \ \ \ \ \ \text{si} \ -x+1 \geqslant 0 \cr \cr -\left(-x+1\right) \ \ \text{si} \ -x+1 \lt 0\end{cases}
|-x+1|=\begin{cases} -x+1 \ \ \ \ \ \text{si} \ x \leqslant 1 \cr \cr x-1 \ \ \text{si} \ x \gt 1\end{cases}
x\in\left]-\infty;1\right]
Comme x\in\left]-\infty;1\right], alors |-x+1|=-x+1.
4-2x=3|-x+1|
\Leftrightarrow4-2x=3\left(-x+1\right)
\Leftrightarrow4-2x=-3x+3
\Leftrightarrow x=-1
-1 est bien dans l'intervalle \left]-\infty;1\right], c'est donc une solution de l'équation.
x\in\left]1;+\infty\right[
Comme x\in\left]1;+\infty\right[, alors |-x+1|=x-1.
4-2x=3|-x+1|
\Leftrightarrow4-2x=3\left(x-1\right)
\Leftrightarrow4-2x=3x-3
\Leftrightarrow-5x=-7
\Leftrightarrow x=\dfrac{7}{5}
\dfrac{7}{5} est bien dans l'intervalle \left]1;+\infty\right[, c'est donc une solution de l'équation.
S=\left\{ -1;\dfrac{7}{5} \right\}
Quelle est la solution de l'équation suivante dans \mathbb{R} ?
5-7x=2x+|4-3x|
On écrit tout d'abord |4-3x| sans valeur absolue.
|4-3x|=\begin{cases} 4-3x \ \ \ \ \ \text{si} \ 4-3x \geqslant 0 \cr \cr -\left(4-3x\right) \ \ \text{si} \ 4-3x \lt 0\end{cases}
|4-3x|=\begin{cases} 4-3x \ \ \ \ \ \text{si} \ -3x \geqslant -4 \cr \cr -4+3x \ \ \text{si} \ -3x \lt -4\end{cases}
|4-3x|=\begin{cases} 4-3x \ \ \ \ \ \text{si} \ x \leqslant \dfrac{4}{3} \cr \cr -4+3x \ \ \text{si} \ x \gt \dfrac{4}{3}\end{cases}
x\in\left]-\infty;\dfrac{4}{3}\right]
Comme x\in\left]-\infty;\dfrac{4}{3}\right], alors |4-3x|=4-3x.
5-7x=2x+|4-3x|
\Leftrightarrow5-7x=2x+4-3x
\Leftrightarrow-6x=-1
\Leftrightarrow x=\dfrac{1}{6}
\dfrac{1}{6} est dans l'intervalle \left]-\infty;\dfrac{4}{3}\right], c'est donc une solution de l'équation.
x\in\left]\dfrac{4}{3};+\infty\right[
Comme x\in\left]\dfrac{4}{3};+\infty\right[, alors |4-3x|=-4+3x.
5-7x=2x+|4-3x|
\Leftrightarrow5-7x=2x+\left(-4+3x\right)
\Leftrightarrow5-7x=2x+-4+3x
\Leftrightarrow-12x=-9
\Leftrightarrow x=\dfrac{9}{12}=\dfrac{3}{4}
\dfrac{3}{4} n'appartient pas à l'intervalle \left]\dfrac{4}{3};+\infty\right[, ce n'est donc pas une solution de l'équation.
S=\left\{ \dfrac{1}{6} \right\}