Donner le sens de variation de la racine carrée d'une fonctionMéthode

On sait déterminer le sens de variation de f=\sqrt{g}g est une fonction aux variations connues.

Soit la fonction f définie sur son ensemble de définition par :

f\left(x\right) = \sqrt{x^2-x-12}

Donner le sens de variation de f et dresser son tableau de variations.

Etape 1

Déterminer le domaine de définition de la fonction

D'après le cours, on sait que \sqrt{u\left(x\right)} existe si et seulement si u\left(x\right) \geq 0.

On résout donc u\left(x\right) \geq 0. On conclut sur le domaine de définition de la fonction.

La fonction f est définie si et seulement si x^2-x-12\geqslant 0.

On détermine donc le signe du trinôme du second degré. Pour cela, on calcule le discriminant :

\Delta = b^2-4ac

\Delta = \left(-1\right)^2-4\times 1 \times \left(-12\right)

\Delta = 49

\Delta \gt 0 donc le trinôme est du signe de a à l'extérieur de l'intervalle déterminé par les racines et du signe de -a à l'intérieur.

On détermine les racines :

  • x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{1-7}{2} = -3
  • x_2 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{1+7}{2} =4

On obtient le tableau de signes suivant :

-

Donc la fonction f est définie sur \left] -\infty ; -3\right] \cup \left[ 4;+\infty \right[.

Etape 2

Identifier la fonction usuelle

On identifie la fonction usuelle u telle que f\left(x\right) = \sqrt{u\left(x\right)}.

On a \forall x \in \mathbb{R} et f\left(x\right) = \sqrt{u\left(x\right)} avec u\left(x\right) = x^2-x-12.

Etape 3

Dresser son tableau de variations

On dresse le tableau de variations de la fonction u.

Comme u est une fonction trinôme du second degré ayant son coefficient de degré 2 strictement positif, alors elle est strictement décroissante puis strictement croissante.

On détermine les coordonnées du sommet S\left(x_S;y_S\right) :

  • x_s =-\dfrac{b}{2a} donc x_s =\dfrac{1}{2}
  • y_s= f\left(x_s\right) donc y_s= \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 -\left(\dfrac{1}{2}\right)-12, finalement y_s= -12{,}25

Ainsi, le point S a pour coordonnées \left(0{,}5;-12{,}25\right).

On peut alors dresser le tableau de variations de u :

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Etape 4

Réciter le cours

D'après le cours, on sait que, les fonctions u et f=\sqrt{u} ont le même sens de variation.

D'après le cours, on sait que, les fonctions u et f=\sqrt{u} ont le même sens de variation.

Etape 5

Calculer éventuellement le nouvel extremum

Si la fonction u possède un extremum et que son abscisse appartient à l'ensemble de définition de f, on détermine le nouvel extremum de la fonction f.

Sinon on détermine les valeurs aux bornes de l'ensemble de définition de f.

On a D_f = \left] -\infty ; -3\right] \cup \left[ 4;+\infty \right[ et l'abscisse du sommet de u vaut \dfrac{1}{2} \notin D_f.

On détermine donc les valeurs aux bornes de D_f :

  • f\left(-3\right) = \sqrt {\left(-3\right)^2-\left(-3\right)-12} = 0
  • f\left(4\right) = \sqrt {\left(4\right)^2-4-12} = 0
Etape 6

Dresser le tableau de variations de la fonction

On dresse enfin le tableau de variations de la fonction f.

On en déduit le tableau de variations de f :

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