Donner le sens de variation de la racine carrée d'une fonction Méthode

Sommaire

1Déterminer le domaine de définition de la fonction 2Identifier la fonction usuelle 3Dresser son tableau de variations 4Réciter le cours 5Calculer éventuellement le nouvel extremum 6Dresser le tableau de variations de la fonction

On sait déterminer le sens de variation de f=\sqrt{g}g est une fonction aux variations connues.

Soit la fonction f définie sur son ensemble de définition par :

f\left(x\right) = \sqrt{x^2-x-12}

Donner le sens de variation de f et dresser son tableau de variations.

Etape 1

Déterminer le domaine de définition de la fonction

D'après le cours, on sait que \sqrt{u\left(x\right)} existe si et seulement si u\left(x\right) \geq 0.

On résout donc u\left(x\right) \geq 0. On conclut sur le domaine de définition de la fonction.

La fonction f est définie si et seulement si x^2-x-12\geqslant 0.

On détermine donc le signe du trinôme du second degré. Pour cela, on calcule le discriminant :

\Delta = b^2-4ac

\Delta = \left(-1\right)^2-4\times 1 \times \left(-12\right)

\Delta = 49

\Delta \gt 0 donc le trinôme est du signe de a à l'extérieur de l'intervalle déterminé par les racines et du signe de -a à l'intérieur.

On détermine les racines :

  • x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{1-7}{2} = -3
  • x_2 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{1+7}{2} =4

On obtient le tableau de signes suivant :

-

Donc la fonction f est définie sur \left] -\infty ; -3\right] \cup \left[ 4;+\infty \right[.

Etape 2

Identifier la fonction usuelle

On identifie la fonction usuelle u telle que f\left(x\right) = \sqrt{u\left(x\right)}.

On a \forall x \in \mathbb{R} et f\left(x\right) = \sqrt{u\left(x\right)} avec u\left(x\right) = x^2-x-12.

Etape 3

Dresser son tableau de variations

On dresse le tableau de variations de la fonction u.

Comme u est une fonction trinôme du second degré ayant son coefficient de degré 2 strictement positif, alors elle est strictement décroissante puis strictement croissante.

On détermine les coordonnées du sommet S\left(x_S;y_S\right) :

  • x_s =-\dfrac{b}{2a} donc x_s =\dfrac{1}{2}
  • y_s= f\left(x_s\right) donc y_s= \left(\dfrac{1}{2}\right)^2 -\left(\dfrac{1}{2}\right)-12, finalement y_s= -12,25

Ainsi, le point S a pour coordonnées \left(0,5;-12,25\right).

On peut alors dresser le tableau de variations de u :

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Etape 4

Réciter le cours

D'après le cours, on sait que, les fonctions u et f=\sqrt{u} ont le même sens de variation.

D'après le cours, on sait que, les fonctions u et f=\sqrt{u} ont le même sens de variation.

Etape 5

Calculer éventuellement le nouvel extremum

Si la fonction u possède un extremum et que son abscisse appartient à l'ensemble de définition de f, on détermine le nouvel extremum de la fonction f.

Sinon on détermine les valeurs aux bornes de l'ensemble de définition de f.

On a D_f = \left] -\infty ; -3\right] \cup \left[ 4;+\infty \right[ et l'abscisse du sommet de u vaut \dfrac{1}{2} \notin D_f.

On détermine donc les valeurs aux bornes de D_f :

  • f\left(-3\right) = \sqrt {\left(-3\right)^2-\left(-3\right)-12} = 0
  • f\left(4\right) = \sqrt {\left(4\right)^2-4-12} = 0
Etape 6

Dresser le tableau de variations de la fonction

On dresse enfin le tableau de variations de la fonction f.

On en déduit le tableau de variations de f :

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