Donner le sens de variation d'une fonction de référence à laquelle on ajoute un réel Méthode

Sommaire

1Identifier la fonction usuelle 2Dresser son tableau de variations 3Réciter le cours 4Calculer éventuellement le nouvel extremum 5Dresser le tableau de variations de la fonction

Le sens de variation d'une fonction de référence à laquelle on ajoute une constante n'est pas modifié.

Soit f la fonction, définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right) =x^2-8.

Déterminer le sens de variation de f.

Etape 1

Identifier la fonction usuelle

On identifie la fonction usuelle g telle que f\left(x\right) = g\left(x\right) +k.

La fonction usuelle utilisée dans l'expression de f est la fonction x\longmapsto x^2.

Etape 2

Dresser son tableau de variations

On dresse le tableau de la fonction usuelle g.

On dresse le tableau de variations de la fonction carrée x\longmapsto x^2 :

-
Etape 3

Réciter le cours

D'après le cours, on sait que pour tout réel k, la fonction g+k possède le même sens de variation que la fonction g.

On sait que pour tout réel x, f\left(x\right) =g\left(x\right) -8, avec g\left(x\right) = x^2

Or la fonction g et la fonction g+k, avec k\in \mathbb{R}, ont les mêmes variations.

Donc la fonction f possède le même sens de variation que la fonction x\longmapsto x^2.

Etape 4

Calculer éventuellement le nouvel extremum

Si la fonction g possède un extremum égal à m alors la fonction f possède un extremum égal à m+k, avec m \in\mathbb{R} et k \in\mathbb{R}.

Ici, d'après son tableau de variations, g\left(0\right) =0.

On en déduit que l'extremum de la fonction f est égal à :

f\left(0\right) = 0-8 = -8.

Etape 5

Dresser le tableau de variations de la fonction

On dresse le tableau de variations de la fonction f.

On en déduit le tableau de variations de f :

-