Les fonctions de référenceCours

I

Les fonctions affines

A

Définition

Fonction affine

Une fonction f est dite affine si elle est définie sur \mathbb{R} et si elle admet une expression du type :

f\left(x\right) = ax + b

a et b sont des réels quelconques.

La fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=2x+5 est une fonction affine.

B

Le sens de variation

On considère une fonction f affine d'expression f\left(x\right)=ax+b.

Cas 1

Si a \gt 0, f est strictement croissante sur \mathbb{R}

-
Cas 2

Si a \lt 0, f est strictement décroissante sur \mathbb{R}

-

La fonction affine définie par f\left(x\right)=7x-1 est une fonction croissante car a=7\gt0.

La fonction affine définie par f\left(x\right)=-3x+4 est une fonction décroissante car a=-3\lt0.

C

La courbe représentative

La courbe représentative de la fonction affine f, d'expression f\left(x\right)=ax+b, est la droite d'équation y = ax + b.

  • Si a = 0, la fonction est constante égale à b, et sa droite représentative est parallèle à l'axe des abscisses.
  • Si b = 0, la fonction est dite linéaire, et sa droite représentative passe par l'origine du repère.

On considère une fonction f affine d'expression f\left(x\right)=ax+b.

Cas 1

Si a \gt 0

-

La fonction représentée ci-dessus est la fonction affine définie pour tout réel x par : f\left(x\right)=x+1

Cas 2

Si a \lt 0

-

La fonction représentée ci-dessus est la fonction affine définie pour tout réel x par : f\left(x\right)=-x+1

Cas 3

Si a = 0

-

La fonction représentée ci-dessus est la fonction affine définie pour tout réel x par : f\left(x\right)=3

II

La fonction carré

A

Définition

Fonction carré

La fonction carré f est définie pour tout réel x par :

f\left(x\right) = x^{2}

B

Le sens de variation

La fonction carré est :

  • Décroissante sur \left] -\infty;0 \right]
  • Croissante sur \left[ 0;+\infty \right[

Son tableau de variations est le suivant :

-
C

La courbe représentative

La courbe représentative de la fonction carré est une parabole dont le sommet est l'origine O du repère.

-
III

La fonction racine carrée

A

Définition

Fonction racine carrée

La fonction racine carrée f est définie sur \mathbb{R}^{+} par :

f\left(x\right) = \sqrt{x}

B

Le sens de variation

La fonction racine carrée est croissante sur \mathbb{R}^+. Son tableau de variations est le suivant :

-

Soient deux réels positifs a et b tels que 0\leq a\lt b. Comparons alors \sqrt{a} et \sqrt{b}.

\sqrt{a}-\sqrt{b}=\dfrac{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{\left( \sqrt{a} \right)^2-\left( \sqrt{b} \right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}

Pour tout a et b tels que 0\leq a\lt b, on a \sqrt{a}+\sqrt{b}\gt0 et a-b\lt0.

Par conséquent \sqrt{a}-\sqrt{b}\lt0\Leftrightarrow\sqrt{a}\lt\sqrt{b}.

La fonction racine carrée est donc croissante sur \mathbb{R}^+.

C

La courbe représentative

La courbe représentative de la fonction racine carrée est la suivante :

-
D

Comparaison de fonctions

  • Pour tout x\in\left[ 1;+\infty \right[, \sqrt{x}\leq x\leq x^2.
  • Pour tout x\in \left[ 0;1 \right[, x^2\leq x\leq \sqrt{x}.
-
IV

La fonction inverse

A

Définition

Fonction inverse

La fonction inverse f est définie sur \mathbb{R}^{*} par :

f\left(x\right) = \dfrac{1}{x}

B

Le sens de variation

La fonction inverse est décroissante sur \left] -\infty;0 \right[ et sur \left] 0;+\infty \right[. Son tableau de variations est le suivant :

-
C

La courbe représentative

La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole dont le centre est l'origine O du repère.

-
V

La fonction valeur absolue

A

Définition

Fonction valeur absolue

La fonction valeur absolue f est définie sur \mathbb{R} par :

f\left(x\right) = |x|

où :

  • |x| = x si x \geq 0
  • |x| = - x si x \lt 0

Valeur absolue et distance

Soit a un réel fixé. Pour tout réel x, la distance d entre x et a est la valeur absolue de la différence de x et a.

d=\left| x-a \right|

-

Résoudre une inéquation de la forme : \left| x-a \right|\leq b (b\gt0) revient à trouver les valeurs de x telles que la distance entre x et a soit inférieure ou égale à b.

\left| x -6\right|\leq 5 équivaut à x\in \left[ 1;11 \right].

En effet, quelle que soit la valeur de x\in \left[ 1;11 \right], la distance entre x et 6 est inférieure ou égale à 5.

-
B

Le sens de variation

La fonction valeur absolue est décroissante sur \left] -\infty;0 \right] et croissante sur \left[ 0;+\infty\right[. Son tableau de variations est le suivant :

-
C

La courbe représentative

La courbe représentative de la fonction valeur absolue est la suivante :

-
VI

Opérations sur les fonctions et variations

Sens de variation de f+g

Si deux fonctions f et g ont le même sens de variation sur l'intervalle I, la fonction f + g possède également le même sens de variation sur I.

Soit f et g deux fonctions définies sur \left[ 0;+\infty \right[ par f\left(x\right)=x^2 et g\left(x\right)=5x+1. Ces deux fonctions sont croissantes sur \left[ 0;+\infty \right[.

La fonction h définie sur \left[ 0;+\infty \right[ par h\left(x\right)=x^2+5x+1 est la somme des fonctions f et g.

La fonction h est donc croissante sur \left[ 0;+\infty \right[.

Sens de variation de kf avec k\gt0

Soit k un réel strictement positif.
La fonction kf possède le même sens de variation que la fonction f sur l'intervalle I.

Soit f la fonction définie sur \left[ 0;+\infty \right[ par f\left(x\right)=x^2. Cette fonction est croissante sur \left[ 0;+\infty \right[.

La fonction h définie sur \left[ 0;+\infty \right[ par h\left(x\right)=7x^2 est le produit de la fonction f par 7 qui est positif.

La fonction h a donc le même sens de variation que f donc h est croissante sur \left[ 0;+\infty \right[.

Sens de variation de kf avec k\lt0

Soit k un réel strictement négatif.
La fonction kf possède le sens de variation contraire à celui de la fonction f sur l'intervalle I.

Soit f la fonction définie sur \left] 0;+\infty \right[ par f\left(x\right)=\dfrac1x. f est décroissante sur \left] 0;+\infty \right[.

La fonction h définie sur \left] 0;+\infty \right[ par h\left(x\right)=\dfrac{-5}{x} est le produit de la fonction f par −5 qui est négatif.

La fonction h a donc le sens de variation contraire de f donc h est croissante sur \left] 0;+\infty \right[.

Sens de variation de \dfrac{1}{f}

Si la fonction f est de signe constant et ne s'annule pas sur un intervalle I, alors les fonctions f et \dfrac{1}{f} ont des sens de variation contraires sur I.

Soit f\left(x\right)=\dfrac1x une fonction définie et décroissante sur \left] 0;+\infty \right[.

Cette fonction est de signe constant et ne s'annule pas sur \left] 0;+\infty \right[.

La fonction h\left(x\right)=\dfrac{1}{f\left(x\right)} définie sur \left] 0;+\infty \right[ est l'inverse de la fonction f.

La fonction h a donc le sens de variation contraire de f donc h est croissante sur \left] 0;+\infty \right[.

Sens de variation de \sqrt f

Si la fonction f est positive sur un intervalle I, alors les fonctions f et \sqrt f ont le même sens de variation sur I.

Soit f la fonction définie sur \left] 0;+\infty \right[ par f\left(x\right)=\dfrac1x. f est décroissante sur \left] 0;+\infty \right[.

Cette fonction est bien positive sur \left] 0;+\infty \right[.

La fonction h définie sur \left] 0;+\infty \right[ par h\left(x\right)=\sqrt{f\left(x\right)} est la racine carrée de la fonction f.

La fonction h a donc le même sens de variation que celui de f donc h est décroissante sur \left] 0;+\infty \right[.