Résoudre une inéquation avec une valeur absolueMéthode

Méthode 1

En élevant les deux expressions au carré

Comme \left| x \right| = \sqrt {x^2}, pour résoudre une inéquation comportant des valeurs absolues, il est possible d'élever tous les termes au carré.

L'inéquation \left| u\left(x\right) \right| \gt a est toujours vérifiée si a est négatif.

À l'inverse l'inéquation \left| u\left(x\right) \right| \lt a n'admet pas de solution si a est négatif.

Résoudre sur \mathbb{R} l'inéquation suivante :

\left| 2x+5 \right| \lt 7

Etape 1

Élever au carré chaque expression

On élève au carré tous les termes de l'inéquation afin de supprimer les valeurs absolues.

Comme la fonction carrée est croissante sur \mathbb{R}^+, le sens de l'inéquation est conservé lorsque les deux membres sont positifs.

On élève au carré les différents termes de l'équation. Comme la fonction carrée est croissante sur \mathbb{R}^+, le sens de l'inéquation est conservé.

On obtient, pour tout réel x :

\left| 2x+5 \right| \lt 7

\Leftrightarrow\left(2x+5\right)^2 \lt 7^2

Etape 2

Passer tous les termes du même côté de l'inégalité

On développe, puis on passe tous les termes du même côté de l'équation afin d'obtenir une équation du second degré.

Dans certains cas particuliers, on peut obtenir une équation du premier degré.

Soit l'inéquation \left| x-2 \right| \gt \left| 4-x \right|

En élevant au carré, cela donne, pour tout réel x :

\left| x-2 \right| \gt \left| 4-x \right|

\Leftrightarrow\left(x-2\right)^2\gt\left(4-x\right)^2

\Leftrightarrow x^2-4x+4 \gt 16 -8x+ x^2

\Leftrightarrow 4x-12 \gt0

Pour tout réel x :

\left(2x+5\right)^2 \lt 7^2

\Leftrightarrow4x^2+20x+25 \lt 49

\Leftrightarrow4x^2+20x-24 \lt 0

Etape 3

Résoudre

Afin de résoudre l'inéquation, il faut déterminer le signe du trinôme du second degré.

On calcule le discriminant :

  • Si \Delta \gt 0 alors le polynôme est du signe de a sauf entre les racines.
  • Si \Delta = 0 alors le polynôme est du signe de a sur \mathbb{R} et s'annule en x_0= -\dfrac{b}{2a}.
  • Si \Delta \lt 0 alors le polynôme est du signe de a sur \mathbb{R}.

Pour déterminer le signe de ce trinôme du second degré, on calcule le discriminant :

\Delta = b^2-4ac

\Delta = 20^2-4\times4\times \left(-24\right)

\Delta =400 +384

\Delta = 784

\Delta \gt 0 donc le trinôme est du signe de a (a\gt 0) sauf entre les racines que l'on détermine :

  • x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-20-28}{8} = -6
  • x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-20+28}{8} = 1

Ainsi, le trinôme est négatif sur \left] -6 ; 1 \right[ et positif sur \left]-\infty ; -6 \right] \cup \left[ 1;+ \infty \right[.

Donc l'ensemble des solutions de l'inéquation est :

S= \left] -6 ; 1 \right[

Méthode 2

En raisonnant en termes de distance

Comme \left| a-b \right| = d\left(a;b\right), on peut résoudre les inéquations comportant des valeurs absolues en raisonnant en termes de distance.

Résoudre sur \mathbb{R} l'inéquation suivante :

\left| x+3 \right| \gt \left| x-1 \right|

Etape 1

Rappeler le cours

D'après le cours, l'expression \left| x-a \right| peut se traduire comme étant la distance entre le point d'abscisse x et le point d'abscisse a de l'axe des réels.

D'après le cours, l'expression \left| x-a \right| correspond à la distance entre le point d'abscisse x et le point d'abscisse a de l'axe des réels.

Etape 2

Interpréter l'inéquation en termes de distance dans le plan

Deux cas sont possibles :

  • Si l'équation est de la forme \left| x-a \right| \gt \left| x-b \right| (respectivement \left| x-a \right| \lt \left| x-b \right| ), on place les points a et b sur l'axe des réels et on cherche les points plus éloignés (respectivement moins éloignés) de a que de b.
  • Si l'équation est de la forme \left| x-a \right| \gt b (respectivement \left| x-a \right| \lt b ), on place le point a sur l'axe des réels et on cherche les points dont la distance au point a est supérieure à b (respectivement inférieure à b).

Si l'inéquation ne se présente pas sous la forme \left| x -a\right| \gt \left| x -b\right| ou \left| x -a\right| \gt b, il faut la simplifier pour la ramener à l'une de ces deux formes.

Pour tout réel x :

\left| x+3\right| \gt \left| x-1 \right|

\Leftrightarrow\left| x- \left(-3\right) \right|\gt \left| x-1\right|

On place donc les points d'abscisse −3 et d'abscisse 1 sur l'axe des réels.

-
Etape 3

Résoudre l'inéquation

On détermine ensuite graphiquement les x qui vérifient l'inégalité.

En s'aidant de l'axe des réels, on cherche les points de l'axe des réels plus éloignés du point d'abscisse −3 que du point d'abscisse 1. On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation est :

S = \left]-1 ; +\infty \right[

Méthode 3

En retirant la valeur absolue

Afin de résoudre une inéquation comportant des valeurs absolues, il est possible d'utiliser les propriétés de la valeur absolue afin de retirer les valeurs absolues de l'équation.

Résoudre sur \mathbb{R} l'inéquation suivante :

\left| 3x+3 \right| \leq x+5

Etape 1

Réciter le cours

D'après le cours :

\left| u\left(x\right) \right| = \begin{cases} u\left(x\right) \;\; si \; u\left(x\right) \geq 0 \cr \cr -u\left(x\right) \;\; si \; u\left(x\right) \lt 0 \ \end{cases}

D'après le cours :

\left| 3x+3 \right| = \begin{cases} 3x+3 \;\; si \; 3x+3 \geq 0 \cr \cr -3x-3 \;\; si \; 3x+3 \lt 0 \ \end{cases}

Donc :

\left| 3x+3 \right| = \begin{cases} 3x+3 \;\; si \; x \geq -1 \cr \cr -3x-3 \;\; si \; x \lt -1 \ \end{cases}

Etape 2

Écrire l'inéquation sans valeur absolue

On en déduit la valeur de l'expression sans la valeur absolue et en fonction de l'intervalle.

On en déduit que :

  • Lorsque x \in \left]-\infty ; -1 \right[, \left| 3x+3\right| \leq x+5\Leftrightarrow -3x-3\leq x+5
  • Lorsque x \in \left[-1;+\infty \right[, \left| 3x+3\right| \leq x+5\Leftrightarrow 3x+3 \leq x+5
Etape 3

Résoudre l'inéquation

On résout la ou les inéquation(s) obtenue(s).

On résout les deux inéquations obtenues.

Cas 1

Si x \in \left[-1;+\infty \right[

3x+3 \leq x+5

\Leftrightarrow 2 x \leq2

\Leftrightarrow x\leq1

Et, comme x \geqslant -1, on obtient :

x\in \left[ -1 ; 1 \right]

Cas 2

Si x \in \left]-\infty; -1\right[

-3x-3 \leq x+5

\Leftrightarrow -4x \leq 8

\Leftrightarrow x\geq -2

Et, comme x \lt -1, on obtient :

x\in \left[ -2 ; -1 \right[

On en déduit que l'ensemble des solutions de l'inéquation est :

S=\left[ -2;-1 \right[\cup \left[ -1;1 \right]

Soit :

S = \left[ -2 ;1\right]

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