Donner le sens de variation du produit d'une fonction par un réelMéthode

On sait déterminer le sens de variation de f=k\times gg est une fonction de référence et k est un réel.

Soit la fonction f, définie par :

\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) = -5x^2

Dresser le tableau de variations de f.

Etape 1

Identifier la fonction usuelle

On identifie la fonction usuelle g telle que f\left(x\right) = k \times g\left(x\right) .

On a f\left(x \right) = k \times g\left(x\right) g\left(x\right) = x^2 et k = -5.

Etape 2

Dresser son tableau de variations

On dresse le tableau de la fonction usuelle g.

On dresse le tableau de variations de la fonction x\longmapsto x^2 :

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Etape 3

Réciter le cours

D'après le cours, on sait que :

  • La fonction f=k\times g a le même sens de variation que la fonction g si k \gt 0
  • La fonction f=k\times g a le sens de variation contraire à la fonction g si k \lt 0.

Ici, f=k\times g avec k\lt0.

f et g ont donc des sens de variation contraires.

Etape 4

Calculer éventuellement le nouvel extremum

Si la fonction g possède un extremum égal à m alors la fonction f possède un extremum égal à k\times m, avec m \in\mathbb{R} et k \in\mathbb{R}.
On calcule éventuellement ce nouvel extremum.

Ici, d'après son tableau de variations, g\left(0\right) =0.

On en déduit que l'extremum de la fonction f est égal à : f\left(0\right) = -5\times 0 = 0.

Etape 5

Dresser le tableau de variations de la fonction

On dresse enfin le tableau de variations de la fonction f.

On en déduit le tableau de variations de f :

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