Résoudre une équation avec une valeur absolueMéthode

Méthode 1

En élevant les deux expressions au carré

Comme \left| x \right| = \sqrt {x^2}, pour résoudre une équation comportant des valeurs absolues, il est possible d'élever tous les termes au carré.

L'équation \left| u\left(x\right) \right|= a n'a pas de solution si a\lt 0.

Résoudre sur \mathbb{R} l'équation suivante :

\left| x+3 \right|= \left| 2x \right|

Etape 1

Élever au carré côté de l'égalité

On élève au carré les deux côtés de l'équation afin de supprimer les valeurs absolues.

On élève au carré les différents termes de l'équation.

Pour tout réel x :

\left| x+3 \right|= \left| 2x \right|

\Leftrightarrow\left(x+3\right)^2 = \left(2x\right)^2

Etape 2

Passer tous les termes du même côté de l'équation

On développe, puis on passe tous les termes du même côté de l'équation afin d'obtenir une équation du second degré.

Pour tout réel x :

\left(x+3\right)^2 = \left(2x\right)^2

\Leftrightarrow x^2+6x+9 = 4x^2

\Leftrightarrow-3x^2+6x+9 = 0

Etape 3

Résoudre l'équation

On résout l'équation du second degré obtenue en calculant le discriminant :

  • si \Delta \gt 0 alors l'équation admet deux solutions x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} et x_2= \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.
  • Si \Delta = 0 alors l'équation admet une unique solution x_0 = -\dfrac{b}{2a}.
  • Si \Delta \lt 0 alors l'équation n'admet pas de solution.

On détermine alors les racines de ce trinôme du second degré. Pour cela, on calcule le discriminant :

\Delta = b^2-4ac

\Delta = 6^2-4\times \left(-3\right)\times 9

\Delta =36+108

\Delta = 144

\Delta \gt 0, donc l'équation admet deux solutions que l'on détermine :

  • x_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-6-12}{-6} = 3
  • x_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a} = \dfrac{-6+12}{-6} = -1

On conclut que l'ensemble des solutions de l'équation est :

S = \left\{ -1 ; 3 \right\}

Méthode 2

En raisonnant en termes de distance

Comme \left| a-b \right| = d\left(a;b\right), on peut résoudre les équations comportant des valeurs absolues en raisonnant en terme de distance.

Résoudre sur \mathbb{R} l'équation :

\left| x+2 \right|= \left| x-4 \right|

Etape 1

Rappeler le cours

D'après le cours, l'expression \left| x-a \right| peut se traduire comme étant la distance entre le point d'abscisse x et le point d'abscisse a de l'axe des réels.

D'après le cours, l'expression \left| x-a \right| correspond à la distance entre le point d'abscisse x et le point d'abscisse a de l'axe des réels.

Etape 2

Interpréter l'équation en termes de distance dans le plan

Deux cas sont possibles :

  • Si l'équation est de la forme \left| x-a \right| = \left| x-b \right|, on place les points a et b sur l'axe des réels et on cherche le point à égale distance de a et b.
  • Si l'équation est de la forme \left| x-a \right| = b, on place le point a sur l'axe des réels et on cherche le point à la distance b de a.

Si l'équation ne se présente pas sous la forme \left| x -a\right| = \left| x -b\right| ou \left| x -a\right| = b, il faut la simplifier pour se ramener à l'une de ces deux formes.

L'équation \left| 3x+12 \right| = 9 est équivalente à \left| x-\left(-4\right) \right| = 3.

On a \left| x+2 \right|= \left| x-4 \right| que l'on peut écrire :

\left| x- \left(-2\right) \right|= \left| x-4 \right|

On place donc les points d'abscisse −2 et d'abscisse 4 sur l'axe des réels.

-
Etape 3

Résoudre l'équation

On résout l'équation en s'aidant de l'axe des réels.

Graphiquement, on cherche le point situé à égale distance des points d'abscisses −2 et 4.

Ici c'est le point d'abscisse 1.

On en déduit que l'ensemble des solutions de l'équation est :

S = \left\{ 1 \right\}

Il n'est pas nécessaire d'appliquer un calcul à cette étape, la résolution graphique suffit.

Toutefois, pour les équations de la forme \left| x-a \right| = \left| x-b\right|, en cas de difficulté, il est possible d'utiliser la formule des milieux afin de résoudre l'équation.

Ainsi on a dans ce cas :

x = \dfrac{a+b}{2}

Méthode 3

En retirant la valeur absolue

Afin de résoudre une équation comportant des valeurs absolues, il est possible d'utiliser les propriétés de la valeur absolue afin de retirer les valeurs absolues de l'équation.

Résoudre sur \mathbb{R} l'équation :

\left| -x+2 \right| = 2x-8

Etape 1

Rappeler le cours

D'après le cours :

\left| u\left(x\right) \right| = \begin{cases} u\left(x\right) \;\; si \; u\left(x\right) \geq 0 \cr \cr -u\left(x\right) \;\; si \; u\left(x\right) \lt 0 \ \end{cases}

\left| -x+2 \right| = \begin{cases} -x+2 \;\; si \; -x+2 \geq 0 \cr \cr x-2 \;\; si \; -x+2 \lt 0 \ \end{cases}

Donc :

\left| -x+2 \right| = \begin{cases} -x+2 \;\; si \; x \leq 2 \cr \cr x-2 \;\; si \; x \gt 2 \ \end{cases}

Etape 2

Donner la valeur de l'expression sans valeur absolue

On en déduit la valeur de l'expression sans valeur absolue et en fonction de l'intervalle.

Ici, on a :

  • Lorsque x \in \left]-\infty ; 2 \right], \left| -x+2 \right| = 2x-8 \Leftrightarrow -x+2 = 2x-8
  • Lorsque x \in \left]2 ;+\infty \right[, \left| -x+2 \right| = 2x-8 \Leftrightarrow x-2 = 2x-8
Etape 3

Résoudre l'équation

On résout la ou les équation(s) obtenue(s).

On résout les deux équations obtenues :

  • Lorsque x \in \left]-\infty ; 2 \right] : -x+2 =2x-8 \Leftrightarrow -3x = -10 \Leftrightarrow x = \dfrac{10}{3}, or \dfrac{10}{3} \notin \left]-\infty; 2 \right], ce n'est donc pas une solution de l'équation.
  • Lorsque x \in \left]2; +\infty \right[ : x-2 =2x-8 \Leftrightarrow -x = -6 \Leftrightarrow x =6, or 6 \in \left] 2; +\infty \right[, c'est donc une solution de l'équation.

On en déduit que l'ensemble des solutions de l'équation est :

S = \left\{ 6\right\}

Penser bien à vérifier que chaque solution obtenue appartient bien à l'intervalle sur lequel on l'a déterminé. Si ce n'est pas le cas, ce n'est pas une solution de l'équation.

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