Expliciter une fonction définie par deux valeurs absolues et tracer sa courbe représentativeMéthode

En présence d'une fonction présentant deux valeurs absolues, afin de l'étudier ou de tracer sa courbe représentative, il faut pouvoir enlever les barres des valeurs absolues.

Soit la fonction, définie sur \mathbb{R}, par :

f\left(x\right) =\left| x-4 \right| \times \left| 5-2x \right|

Exprimer f\left(x\right) sans valeur absolue.

Etape 1

Identifier l'opération entre les deux valeurs absolues

La fonction f peut être la somme, le produit ou le quotient de deux valeurs absolues.

On remarque que la fonction f s'exprime comme étant le produit de deux valeurs absolues.

Si la fonction f s'exprime comme le quotient de deux valeurs absolues, on pensera bien à déterminer l'ensemble de définition de f.

Etape 2

Écrire la première expression sans les valeurs absolues

On écrit la première expression sans les valeurs absolues en utilisant la formule du cours :

\left| u\left(x\right) \right| =\begin{cases} u\left(x\right) \;\; si \; u\left(x\right) \geq 0\cr \cr -u\left(x\right) \;\; si \; u\left(x\right) \lt 0 \end{cases}

On résout les inéquations u\left(x\right) \geq 0 et u\left(x\right) \lt 0.

D'après le cours, on a :

\left| x-4 \right| =\begin{cases} x-4 \;\; si \; x-4 \geq 0\cr \cr -x+4 \;\; si \; x-4 \lt 0 \end{cases}

Donc :

\left| x-4 \right| =\begin{cases} x-4 \;\; si \; x \geq 4\cr \cr -x+4 \;\; si \; x \lt 4 \end{cases}

Etape 3

Écrire la deuxième expression sans les valeurs absolues

On écrit la deuxième expression sans les valeurs absolues en utilisant la formule du cours :

\left| v\left(x\right) \right| =\begin{cases} v\left(x\right) \;\; si \; v\left(x\right) \geq 0\cr \cr -v\left(x\right) \;\; si \; v\left(x\right) \lt 0 \end{cases}

On résout v\left(x\right) \geq 0 et v\left(x\right) \lt 0.

D'après le cours, on a :

\left| 5-2x \right| =\begin{cases} 5-2x\;\; si \; 5-2x \geq 0\cr \cr -5+2x \;\; si \; 5-2x \lt 0 \end{cases}

Donc :

\left| 5-2x \right| =\begin{cases} 5-2x\;\; si \; x \leq \dfrac{5}{2}\cr \cr -5+2x \;\; si \;x \gt \dfrac{5}{2} \end{cases}

Etape 4

Résumer les résultats dans un tableau

Pour exprimer f\left(x\right) sans valeur absolue, on reporte dans un tableau les expressions de \left| u\left(x\right) \right| et de \left| v\left(x\right) \right|.

On applique ensuite l'opération existante entre les deux valeurs absolues (somme, produit ou quotient) afin d'obtenir l'expression de f\left(x\right) suivant les valeurs de x.

On reporte dans un tableau les expressions de \left| x-4 \right| et de \left| 5-2x \right|.

On effectue ensuite le produit de chaque colonne que l'on reporte dans la dernière ligne. On obtient :

-

On en déduit que :

  • \forall x \in \left] -\infty ; \dfrac{5}{2} \right], f\left(x\right) = \left(-x+4\right)\left(5-2x\right) \Leftrightarrow f\left(x\right) = 2x^2-13x+20
  • \forall x \in \left[\dfrac{5}{2}; 4\right], f\left(x\right) = \left(-x+4\right)\left(-5+2x\right) \Leftrightarrow f\left(x\right) =- 2x^2+13x-20
  • \forall x \in \left[ 4;+\infty \right[, f\left(x\right) = \left(x-4\right)\left(-5+2x\right) \Leftrightarrow f\left(x\right) = 2x^2-13x+20

Finalement :

  • \forall x \in \left] -\infty ; \dfrac{5}{2} \right] \cup \left[4;+ \infty \right[, f\left(x\right) = 2x^2-13x+20
  • \forall x \in \left[\dfrac{5}{2}; 4\right], f\left(x\right) = -2x^2+13x-20
Etape 5

Tracer la courbe représentative de la fonction

Sur un même graphique, on effectue le tracé correspondant à l'expression de la fonction sur chaque intervalle.

Ici, on trace la courbe représentative de f en deux étapes :

  • Sur \left] -\infty ; \dfrac{5}{2} \right] \cup \left[4;+ \infty \right[, on trace la courbe représentative de f\left(x\right) = 2x^2-13x+20.
  • Sur \left[ \dfrac{5}{2}; 4\right], on trace la courbe représentative de f\left(x\right) = -2x^2+13x-20.

On obtient :

-

Questions fréquentes

Quelles sont les matières disponibles sur Kartable ?

Sur Kartable, l'élève accède à toutes les matières principales de la primaire au lycée, y compris pour les spécialités et les options. Mathématiques, physique-chimie, SVT, sciences, français, littérature, histoire, géographie, enseignement moral et civique, SES, philosophie, anglais, allemand et espagnol.
Inscrivez-vous

Les cours sont-ils conformes aux programmes officiels de l'Education nationale ?

L'intégralité des cours sur Kartable est rédigée par des professeurs de l'Éducation nationale et est conforme au programme en vigueur, incluant la réforme du lycée de l'année 2019-2020.
Choisissez votre formule

L'élève peut-il accéder à tous les niveaux ?

Sur Kartable, l'élève peut accéder à toutes les matières dans tous les niveaux de son choix. Ainsi, il peut revenir sur les notions fondamentales qu'il n'aurait pas comprises les années précédentes et se perfectionner.
Plus d'info

Kartable est-il gratuit ?

L'inscription gratuite donne accès à 10 contenus (cours, exercices, fiches ou quiz). Pour débloquer l'accès illimité aux contenus, aux corrections d'exercices, mode hors-ligne et téléchargement en PDF, il faut souscrire à l'offre Kartable Premium.
Plus d'info

Qui rédige les cours de Kartable ?

L'intégralité des contenus disponibles sur Kartable est conçue par notre équipe pédagogique, composée de près de 200 enseignants de l'Éducation nationale que nous avons sélectionnés.
Afficher plus

Qu'est ce que le service Prof en ligne ?

L'option Prof en ligne est un service de chat en ligne entre élèves et professeurs. Notre Prof en ligne répond à toutes les questions sur les cours, exercices, méthodologie et aide au devoirs, pour toutes les classes et dans toutes les matières. Le service est ouvert du lundi au vendredi de 16h à 19h pour les membres ayant souscrit à l'option.
Choisissez votre formule