Première S 2015-2016
Kartable
Première S 2015-2016

Donner le sens de variation de l'inverse d'une fonction

On sait déterminer le sens de variation de f=1gg est une fonction aux variations connues.

Soit la fonction f définie sur son ensemble de définition par :

f(x)=13x4

Donner le sens de variation de f et dresser son tableau de variations.

Etape 1

Déterminer le domaine de définition de la fonction

D'après le cours, on sait que 1u(x) existe si et seulement si u(x)0.

On résout donc l'équation u(x)=0 pour déterminer l'ensemble de définition de f.

La fonction f est définie si et seulement si 3x40.

On résout donc dans l'équation 3x4=0.

On obtient :

x=43

On en déduit que le domaine de définition de f est : Df={43}.

Etape 2

Identifier la fonction usuelle

On donne l'expression de la fonction usuelle u telle que f=1u.

On a x{43}, f(x)=1u(x), avec u(x)=3x4.

Etape 3

Dresser le tableau de variations de u en précisant le signe de u(x)

On dresse le tableau de variations de la fonction usuelle u et on fait apparaître les zéros de cette fonction.

u est une fonction affine de coefficient directeur positif. Donc u est strictement croissante sur .

De plus, pour tout réel x :

u(x)=03x4=0x=43

On obtient donc le tableau de variations suivant :

-
Etape 4

Réciter le cours

D'après le cours, on sait que les fonctions u et f=1u ont des sens de variation contraires sur tout intervalle où u(x) est de signe constant.

D'après le cours, on sait que les fonctions u et f=1u ont des sens de variation contraires sur tout intervalle où u(x)>0.
De même, on sait que les fonctions u et f=1u ont des sens de variation contraires sur tout intervalle où u(x)<0.

  • Sur ];43[, u est strictement croissante et u(x)<0. Donc f est strictement décroissante sur ];43[.
  • Sur ]43;+[, u est strictement croissante et u(x)>0. Donc f est strictement décroissante sur ]43;+[.
Etape 5

Calculer éventuellement le nouvel extremum

Si la fonction u possède un extremum et que son abscisse appartient à l'ensemble de définition de f, on détermine le nouvel extremum de la fonction f.

Sinon on détermine les valeurs aux bornes de l'ensemble de définition de f.

La fonction u étant une fonction affine, elle n'admet pas d'extremum sur .

Donc la fonction f n'admet pas d'extremum sur {43}.

Etape 6

Dresser le tableau de variations de la fonction

On dresse le tableau de variations de la fonction f.

On en déduit le tableau de variations de f :

-
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