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Exprimer une fonction sans valeur absolue

En présence d'une fonction présentant une valeur absolue, afin de l'étudier ou de tracer sa courbe représentative, il faut pouvoir enlever les barres de valeur absolue.

Soit la fonction, définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\), par \(\displaystyle{\forall x\in\mathbb{R}}\), \(\displaystyle{f\left(x\right) = \left(x+1\right)\left| 3+2x \right|}\).

Exprimer \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) sans valeur absolue.

Etape 1

Réciter le cours

D'après le cours, on sait que \(\displaystyle{\left| u\left(x\right) \right| =\begin{cases} u\left(x\right) \;\; si \; u\left(x\right) \geq 0\cr \cr -u\left(x\right) \;\; si \; u\left(x\right) \lt 0 \end{cases}}\)

D'après le cours :

\(\displaystyle{\left| 3+2x \right| =\begin{cases} 3+2x \;\; si \; 3+2x \geq 0\cr \cr -3-2x \;\; si \; 3+2x \lt 0 \end{cases}}\)

Etape 2

Déterminer la valeur de \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) selon l'intervalle considéré

On a \(\displaystyle{\left| u\left(x\right) \right| =\begin{cases} u\left(x\right) \;\; si \; u\left(x\right) \geq 0\cr \cr -u\left(x\right) \;\; si \; u\left(x\right) \lt 0 \end{cases}}\)

On résout les inéquations \(\displaystyle{u\left(x\right) \geq 0}\) et \(\displaystyle{u\left(x\right) \lt 0}\).

Puis on insère éventuellement la valeur absolue dans la fonction, si elle ne représente pas la totalité de la fonction.

On conclut sur la valeur de \(\displaystyle{f\left(x\right)}\) selon l'intervalle considéré.

On a :

\(\displaystyle{\left| 3+2x \right| =\begin{cases} 3+2x \;\; si \; 3+2x \geq 0\cr \cr -3-2x \;\; si \; 3+2x \lt 0 \end{cases}}\)

Donc :

\(\displaystyle{\left| 3+2x \right| =\begin{cases} 3+2x \;\; si \; x \geq -\dfrac{3}{2}\cr \cr -3-2x \;\; si \; x \lt -\dfrac{3}{2} \end{cases}}\)

On insère la valeur absolue dans l'expression de f :

\(\displaystyle{f\left(x\right) =\begin{cases} \left(x+1\right)\left(3+2x\right) \;\; si \; x \geq -\dfrac{3}{2}\cr \cr \left(x+1\right)\left(-3-2x\right) \;\; si \; x \lt -\dfrac{3}{2} \end{cases}}\)

Après calcul, on obtient :

\(\displaystyle{f\left(x\right) =\begin{cases} 2x^2+5x+3\;\; si \; x \geq -\dfrac{3}{2}\cr \cr -2x^2-5x-3 \;\; si \; x \lt -\dfrac{3}{2} \end{cases}}\)

Cela peut paraître compliqué, mais il suffit à chaque fois d'appliquer simplement la formule du cours en présence d'une valeur absolue :

\(\displaystyle{\left| u\left(x\right) \right| =\begin{cases} u\left(x\right) \;\; si \; u\left(x\right) \geq 0\cr \cr -u\left(x\right) \;\; si \; u\left(x\right) \lt 0 \end{cases}}\)

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