Un thé est servi à 90 °C dans une pièce à 20 °C. Il refroidit de façon exponentielle.
On note f la fonction qui, au temps t exprimé en minutes, associe l'écart entre la température du thé et celle de la pièce. On a, pour tout réel positif \(tx) :
f(x)=70\times0{,}905^{t}
Le thé peut être dégusté sans danger de brûlure lorsque sa température est inférieure ou égale à 45 °C.
Après combien de minutes peut-on consommer le thé sans risque de brûlure ?
On cherche la plus petite valeur de x telle que la température du thé soit inférieure ou égale à 45 °C.
Dans ce cas, l'écart entre la température du thé et la température de la pièce sera de :
45-20=25 \text{ °C}
On cherche donc la plus petite valeur de x telle que f(x)\leqslant25.
f est le produit d'un nombre positif par une fonction exponentielle de base a=0{,}905.
On a 0 \lt a \lt 1, donc la fonction exponentielle de base a passe en dessous de n'importe quel seuil A \gt 0 pour x assez grand. Il existe donc une plus petite valeur du temps x telle que f(x) passe en dessous de 25.
On la trouve en faisant afficher par la calculatrice ou par un tableur les valeurs de f(x) :
On lit que :
- à la 10e minute, l'écart de température est encore d'environ 25,8 °C ;
- à la 11e minute, il est d'environ 23,3 °C.
On pourra consommer le thé sans risque de brûlure au bout de 11 minutes.
Une culture bactérienne contient 5 000 bactéries au départ. On observe que leur nombre augmente en continu à un rythme de 2 % par heure.
On note f la fonction qui, au temps t exprimé en heures, associe le nombre de bactéries dans la culture. On a, pour tout réel positif t :
f(t)=5\ 000\times1{,}02^{t}
Après combien de temps environ le nombre de bactéries dépassera-t-il 6 000 ?
On cherche la plus petite valeur de t telle que le nombre de bactéries soit strictement supérieur à 6 000.
On cherche donc la plus petite valeur de t telle que f(t) \gt 6\ 000.
f est le produit d'un nombre positif par une fonction exponentielle de base a=1{,}02.
On a 1 \lt a.
Donc la fonction exponentielle de base 1,02 passe au-dessus de n'importe quel seuil A \gt 0 pour t assez grand.
Ainsi, il existe une plus petite valeur du temps t telle que f(t) passe au-dessus de 6 000.
On la trouve en faisant afficher par la calculatrice ou par un tableur les valeurs de f(t) :
On lit que :
- au bout de 9 heures, il y a environ 5 975 bactéries ;
- au bout de 10 heures, il y a environ 6 095 bactéries dans la culture.
Le nombre de bactéries dépassera 6 000 au bout de 10 heures environ.
À un moment donné, 100 personnes connaissent une rumeur. Le nombre de personnes informées augmente en continu de 15 % par jour.
On note f la fonction qui, au temps t exprimé en jours, associe le nombre de personnes informées par la rumeur.
On a, pour tout réel positif t :
f(t)=100\times 1{,}15^{t}
Après combien de jours le nombre de personnes informées par cette rumeur aura-t-il au moins triplé ?
On cherche la plus petite valeur de t, en jours, telle que le nombre de personnes informées de la rumeur soit supérieure ou égale au triple de 100, c'est-à-dire 300 personnes.
On cherche donc la plus petite valeur de t telle que f(t)\geqslant300.
f est le produit d'un nombre positif par une fonction exponentielle de base a=1{,}15.
On a a \gt 1.
Ainsi, la fonction exponentielle de base 1,15 passe au-dessus de n'importe quel seuil A \gt 0 pour t assez grand.
Il existe donc une plus petite valeur du temps t telle que f(t) passe au-dessus de 300.
On la trouve en faisant afficher par la calculatrice ou par un tableur les valeurs de f(t) :
On lit que :
- au bout de 7 jours, environ 266 personnes sont informées ;
- au bout de 8 jours, environ 306 personnes sont informées.
Le nombre de personnes informées de la rumeur dépassera le triple de sa valeur initiale au bout de 8 jours.
Un échantillon contient 100 g de carbone 14 au départ. Sa désintégration suit une décroissance exponentielle.
On note f la fonction qui, au temps t exprimé en années, associe la masse de carbone 14 qui reste.
On a, pour tout réel positif t :
f(t)=100\times0{,}9999^{t}
Après combien de siècles la masse de carbone 14 restante devient-elle inférieure à 90 g ?
On cherche la plus petite valeur de t telle que la masse de carbone 14 soit inférieure à 90 g.
On cherche donc la plus petite valeur de t telle que f(t)\leqslant90.
f est le produit d'un nombre positif par une fonction exponentielle de base a=0{,}9999.
On a 0 \lt a \lt 1, donc la fonction exponentielle de base 0,9999 passe en dessous de n'importe quel seuil A \gt 0 pour t assez grand.
Il existe donc une plus petite valeur du temps t telle que f(t) passe en dessous de 90.
De plus a=0{,}9999 étant très proche de 1, la décroissance de la fonction est très lente.
On trouve la valeur de t telle que f(t) passe en dessous de 90 en faisant afficher par la calculatrice ou par un tableur les valeurs de f(t).
Comme la réponse doit être donnée en siècles, on paramètre la calculatrice pour qu'elle affiche les valeurs approchées de f(t) tous les 100 ans.
On obtient :
On lit que :
- au bout de 1 000 ans, il reste encore 90,48 g de carbone ;
- au bout de 1 100 ans, il reste environ 89,6 g de carbone.
Il restera moins de 90 g de carbone 14 au bout de 11 siècles.
Un chat reçoit une dose de médicament. Sa concentration initiale dans le sang est de 2 mg/L .
La molécule injectée s'élimine de manière exponentielle.
On note f la fonction qui, au temps t exprimé en heures, associe la concentration du médicament dans le sang du chat.
On a, pour tout réel positif t :
f(t)=2 \times 0{,}82^{t}
Après combien d'heures la concentration du médicament aura-t-elle diminué de plus de 50 % ?
On cherche la plus petite valeur de t telle que la concentration soit strictement inférieure à la moitié de 2 mg/L.
On cherche donc la plus petite valeur de t telle que f(t) \lt 1.
f est le produit d'un nombre positif par une fonction exponentielle de base a=0{,}82.
On a 0 \lt a \lt 1, donc la fonction exponentielle de base a passe en dessous de n'importe quel seuil A \gt 0 pour x assez grand.
Il existe donc une plus petite valeur du temps t telle que f(t) passe en dessous de 1.
On la trouve en faisant afficher par la calculatrice ou par un tableur les valeurs de f(t) :
On lit que :
- au bout de 3 heures, la concentration est encore d'environ 1,1 mg/L.
- au bout de 4 heures, elle est d'environ 0,90 mg/L.
La concentration du médicament dans le sang du chat aura diminué de plus de 50 % au bout 4 heures.