Un dépôt de bactéries dans une boîte hermétique est observé dans un laboratoire.
Sa population est initialement de 1 000 bactéries. Elle augmente de 1,5 % par minute.
Soit n un entier naturel. On note u_{n} le nombre de bactéries présentes n minutes après le début de l'observation.
Quelle est la relation de récurrence vérifiée par la suite (u_{n}) ?
Soit n un entier naturel.
- Le nombre de bactéries présentes n minutes après le début de l'observation est u_{n}.
- Le nombre de bactéries présentes (n+1) minutes après le début de l'observation est u_{n+1}.
On sait que le nombre de bactéries augmente de 1,5 % chaque minute ; cela signifie que le nombre de bactéries est multiplié par le coefficient (1+\dfrac{1{,}5}{100}) toutes les minutes.
Pour tout entier naturel, on a donc la relation :
u_{n+1}=(1+\dfrac{1{,}5}{100}) u_{n}
On en déduit que la relation de récurrence vérifiée par la suite u est :
Pour tout entier naturel n, u_{n+1}=1{,}015\ u_{n}.
Soit n un nombre entier naturel.
Quelle relation donne le terme u_{n} en fonction de n ?
Une suite (u_{n}) est dite géométrique lorsqu'il existe un réel q tel que, pour tout entier naturel n pour lequel u_{n} est défini, on a :
u_{n+1}=q u_{n}.
Ici, on a :
- pour tout entier naturel n, u_{n+1}=1{,}015\ u_{n} ;
- u_{0}=1\ 000 puisque la population initiale de bactéries est 1 000.
Donc la suite (u_{n}) est une suite géométrique de premier terme u_{0}=1\ 000 et e raison q=1{,}015.
Or si une suite (u_{n}) est une suite géométrique de premier terme u_{0} et e raison q, alors pour tout entier naturel n, on a :
u_{n}=u_{0}×q^{n}
On en déduit que :
Pour tout entier naturel n, u_{n}=1\ 000 \times 1{,}015^{n}.
Combien y a-t-il de bactéries au bout de 10 minutes ?
Soit n un entier naturel, le nombre de bactéries présentes n minutes après le début de l'observation est u_{n}.
Au bout de 10 minutes, il y a donc u_{10} bactéries.
Afin de calculer u_{10}, on utilise la relation explicite de la suite :
u_{10}=1\ 000 \times 1{,}015^{10}
On trouve u_{10}\approx1\ 161 en arrondissant à l'unité.
On en déduit qu'au bout de 10 minutes, il y a 1 161 bactéries environ.
La population de bactéries ne peut croître indéfiniment sans apport de nutriments.
On estime qu'à partir de 1 300 bactéries, des ressources doivent être apportées pour que la colonie grandisse.
Combien de temps après le début de l'observation devra-t-on apporter ces nutriments ?
La suite (u_{n}) est une suite géométrique de raison q=1{,}05.
q \gt 1 donc la suite (u_{n}) est croissante. De plus, ses termes sont strictement positifs.
On sait qu'une suite géométrique à termes strictement positifs non constante dépasse n'importe quel seuil si elle est croissante.
Ainsi, il existe bien une plus petite valeur de n telle que u_{n}\geqslant 1\ 300.
Pour la trouver, on peut calculer les termes consécutifs de la suite ; ou se servir d'une calculatrice ou d'un tableur.
Un tableur donne les 20 premiers termes de la suite :
On observe que la première valeur supérieure ou égale à 1 300 est u_{18}.
u_{18} correspond à la population de bactéries présente à la 18e minute après le début de l'observation.
Il faudra donc nourrir les bactéries 18 minutes après le début de l'observation.
On continue à alimenter ce dépôt de bactéries.
Au bout de combien de temps la population de bactéries aura-t-elle augmenté de 50 % par rapport à sa population initiale ?
La population de bactéries a augmenté de 50 % par rapport à sa population initiale lorsque pour la première fois elle dépasse 1{,}50\times1\ 000 , soit 1 500 individus.
On cherche donc le plus petit entier naturel k tel que u_{k}\geqslant 1\ 500.
On utilise un tableur ou une calculatrice en mode Suites pour trouver les valeurs successives de la suite (u_{n}). Par exemple, avec un tableur, on obtient les 32 premières valeurs suivantes :
On observe que les valeurs sont croissantes, et que la première valeur supérieure ou égale à 1 500 est u_{28}.
La population de bactéries aura donc augmenté de 50 % entre la 27e minute et la 28e minute.