Ranger dans l'ordre croissant les nombres suivants.
1{,}4^{0{,}5} \ ;0{,}8^{2} \ ;0{,}8^{3} \ ;1{,}4^{0{,}8} \ ; 1^{0{,}8}
Soit a un réel strictement positif.
On sait que :
- Si 0 \lt a \lt 1, la fonction exponentielle de base a est strictement décroissante sur [0;+∞[.
- Si a=1, la fonction exponentielle de base a est constante sur [0;+∞[.
- Si a \gt 1, la fonction exponentielle de base a est strictement croissante sur [0;+∞[.
D'une part, 1^{0{,}8}=1.
D'autre part, 0{,}8 \lt 1 donc la fonction exponentielle de base 0{,}8 est strictement décroissante sur [0;+∞[.
Ainsi :
0{,}8^{3} \lt 0{,}8^{2}\lt 0{,}8^{0}
On en déduit que :
0{,}8^{3} \lt 0{,}8^{2}\lt 1
Enfin, 1{,}4 \gt 1, donc la fonction exponentielle de base 1{,}4 est strictement croissante sur [0;+∞[.
Ainsi :
1{,}4^{0} \lt 1{,}4^{0{,}5} \lt 1{,}4^{0{,}8}
On en déduit que :
1\lt 1{,}4^{0{,}5} \lt 1{,}4^{0{,}8}
Ainsi : 0{,}8^{3} \lt 0{,}8^{2} \lt 1^{0{,}8} \lt 1{,}4^{0{,}5} \lt 1{,}4^{0{,}8}.
4{,}31^{1{,}1} \ ;4{,}31^{0{,}05} \ ;4{,}31^{3} \ ;4{,}31^{0{,}5} \ ; 4{,}31^{0{,}4}
Soit a un réel strictement positif.
On sait que :
Si a \gt 1, la fonction exponentielle de base a est strictement croissante sur [0;+∞[.
4{,}31 \gt 1, donc la fonction exponentielle de base 4{,}31 est strictement croissante sur [0;+∞[.
Ainsi les nombres 4{,}31^{1{,}1} \ ;4{,}31^{0{,}05} \ ;4{,}31^{3} \ ;4{,}31^{0{,}5} \ ; 4{,}31^{0{,}4} sont rangés dans le même ordre que les exposants.
On a :
0{,}05 \lt 0{,}4 \lt 0{,}5\lt 1{,}1 \lt 3
On en déduit que :
4{,}31^{0{,}05} \lt 4{,}31^{0{,}4} \lt 4{,}31^{0{,}5} \lt 4{,}31^{1{,}1} \ \lt 4{,}31^{3}
Ainsi : 4{,}31^{0{,}05} \lt 4{,}31^{0{,}4} \lt 4{,}31^{0{,}5} \lt 4{,}31^{1{,}1} \lt 4{,}31^{3} .
0{,}99^{0{,}7} \ ;0{,}99^{0{,}069} \ ;0{,}99^{3} \ ;0{,}99^{0{,}75} \ ; 1^{0{,}75} ; 0{,}99^{0{,}692}
On sait que :
Si 0 \lt a \lt 1, la fonction exponentielle de base a est strictement décroissante sur [0;+∞[.
0{,}99 \lt 1 donc la fonction exponentielle de base 0{,}99 est strictement décroissante sur [0;+∞[.
Ainsi les nombres 0{,}99^{0{,}7} \ ;0{,}99^{0{,}069} \ ;0{,}99^{3} \ ;0{,}99^{0{,}75} \ ; 0{,}99^{0{,}692} sont rangés dans le sens contraire de l'ordre des exposants.
Or, on a :
3 \gt 0{,}75 \gt 0{,}7 \gt 0{,}692 \gt 0{,}069
On en déduit que :
0{,}99^{3} \lt 0{,}99^{0{,}75} \ \lt 0{,}99^{0{,}7} \ \lt 0{,}99^{0{,}692} \ \lt 0{,}99^{0{,}069}
Il reste à ranger 1^{0{,}75} dans cette liste de nombres croissants.
On sait que 1^{0{,}75}=1 et que 0{,}99^{0}=1.
Ainsi, 1^{0{,}75}=0{,}99^{0}.
Comme 0{,}069 \gt 0, on a :
0{,}99^{0{,}069} \lt 0{,}99^{0}
Ainsi : 0{,}99^{3} \lt 0{,}99^{0{,}75} \ \lt 0{,}99^{0{,}7} \ \lt 0{,}99^{0{,}692} \ \lt 0{,}99^{0{,}069} \lt 1^{0{,}75}.
1{,}25 \ ;1{,}25^{2} \ ;1{,}25^{0{,}6} \ ;1{,}25^{1{,}5} \ ; 1{,}25^{1{,}8}
On sait que :
Si a \gt 1, la fonction exponentielle de base a est strictement croissante sur [0;+∞[.
1{,}25 \gt 1 donc la fonction exponentielle de base 1{,}25 est strictement croissante sur [0;+∞[.
Ainsi, les nombres 1{,}25 \ ;1{,}25^{2} \ ;1{,}25^{0{,}6 } \ ;1{,}25^{1{,}5} \ ; 1{,}25^{1{,}8} sont rangés dans le même ordre que les exposants.
Or, on a :
0{,}6\lt 1 \lt1{,}5 \lt 1{,}8 \lt 2
On en déduit que :
1{,}25^{0{,}6} \ \lt 1{,}25^{1} \lt 1{,}25^{1{,}5} \lt 1{,}25^{1{,}8} \lt 1{,}25^{2}
Comme 1{,}25^{1}=1{,}25, on en déduit que :
Ainsi : 1{,}25^{0{,}6} \lt 1{,}25 \lt 1{,}25^{1{,}5} \lt 1{,}25^{1{,}8} \lt 1{,}25^{2} .
0{,}65^{0{,}5} \ ;1{,}35^{2} \ ;0{,}65^{3} \ ;0{,}65^{0{,}8} \ ; 1{,}35^{0{,}8} ; 1
Soit a un réel strictement positif. On sait que :
- Si 0 \lt a \lt 1, la fonction exponentielle de base a est strictement décroissante sur [0;+∞[.
- Si a \gt 1, la fonction exponentielle de base a est strictement croissante sur [0;+∞[.
Dune part, 0{,}65 \lt 1, donc la fonction exponentielle de base 0{,}65 est strictement décroissante sur [0;+∞[.
Comme 0 \lt 0{,}5 \lt 0{,}8 \lt 3, on a donc :
0{,}65^{3} \lt 0{,}65^{0{,}8}\lt 0{,}65^{0{,}5} \lt 0{,}65^{0}
On en déduit que :
0{,}65^{3} \lt 0{,}65^{0{,}8}\lt 0{,}65^{0{,}5} \lt 1
D'autre part, 1{,}35 \gt 1 donc la fonction exponentielle de base 1{,}35 est strictement croissante sur [0;+∞[.
Ainsi :
1{,}35^{0} \lt 1{,}35^{0{,}8} \lt 1{,}35^{2}
On en déduit que :
1\lt 1{,}35^{0{,}8} \lt 1{,}35^{2}
Ainsi : 0{,}65^{3} \lt 0{,}65^{0{,}8}\lt 0{,}65^{0{,}5} \lt 1\lt 1{,}35^{0{,}8} \lt 1{,}35^{2}.