Soit (u_n) la suite géométrique définie par l'algorithme Python suivant :
def u(n):
if n==0 :
return 2
elif (n>=1) and (type(n)==int):
result = 0.5*u(n-1)
return result
else :
return("Vous n'avez pas choisi un entier naturel")
On étudie la suite (u_n).
Quelles sont les valeurs de u_1 et u_2 ?
On applique l'algorithme dans le cas où n=1.
Dans ce cas, l'algorithme renvoie la valeur 0{,}5u_{0}.
Il faut donc appliquer l'algorithme dans le cas n=0 pour avoir le résultat dans le cas où n=1.
Dans le cas où n=0, l'algorithme renvoie 2.
Donc dans le cas où n=1, l'algorithme renvoie 0{,}5\times 2 = 1.
On en déduit que u_1 = 1 .
Dans le cas où n=2, l'algorithme renvoie 0{,}5u_{n-1}= 0{,}5u_{1}.
On connaît u_1, on peut donc en déduire u_2 = 0{,}5 \times 1 = 0{,}5.
Ainsi, u_1 = 1 et u_2=0{,}5.
Quel est le sens de variation de la suite (u_n) ?
La suite (u_n) est une suite géométrique, donc ses variations dépendent de sa raison q et de son terme initial u_0.
Dans le cas où n=0, l'algorithme renvoie 2.
Donc u_0=2.
Dans le cas où n est un entier positif non nul, l'algorithme renvoie 0.5*u(n-1).
On est déduit que pour tout entier positif non nul u(n) = 0{,}5 u_(n-1).
C'est-à-dire :
\forall n \in \mathbb{N}, u_{n+1}=0{,}5u_n
Donc q=0{,}5.
Ainsi, on a u_0 \gt 0 et 0\lt q \lt 1.
La suite (u_n) est donc décroissante.
Quelle est la forme explicite du terme générale de la suite (u_n) ?
La suite (u_n) est une suite géométrique de raison q=\frac{1}{2} et de premier terme u_0=2.
Le terme général d'une telle suite géométrique s'écrit sous la forme :
\forall n \in \mathbb{N}, u_{n}=u_0 q^n
Le terme général de la suite (u_n) est donc : \forall n \in \mathbb{N}, u_{n}=2 (\frac{1}{2})^n.