Au 1er janvier 2020, on dépose un capital de 5000 € sur un compte dont la rémunération annuelle est de 3% (intérêts composés).
On note u_n le capital sur le compte au 1er janvier 2020+n.
On arrondira les résultats au centième, si nécessaire.
Quels sont les 4 premiers termes de la suite \left(u_n\right) ?
Le capital initial est u_0=5000.
Augmenter de 3% revient à multiplier par 1,03.
On en déduit :
u_1=u_0\times 1{,}03=5000\times 1{,}03=5150
u_2=u_1\times 1{,}03=5150\times 1{,}03=5304{,}5
u_3=u_2\times 1{,}03=5304{,}5\times 1{,}03=5463{,}635.
Soit n un entier naturel quelconque.
Quelle est l'expression u_{n+1} en fonction de u_n ?
Chaque année, le capital augmente de 3%.
Or augmenter de 3% revient à multiplier par 1,03.
Ainsi, pour tout entier naturel n, on a :
u_{n+1}=1{,}03\times u_n.
Autrement dit, la suite (u_n) est géométrique de raison 1,03.
Quelle est l'expression de u_n en fonction de n ?
On sait que si une suite (u_n) est géométrique de raison q et de premier terme u_0, alors, on a, pour tout entier naturel n :
u_n=u_0\times q^n.
Ici la suite (u_n) est géométrique de raison q=1{,}03 et de premier terme u_0=5000.
On en déduit donc :
u_n=5000\times 1{,}03^n pour tout entier naturel n.
En supposant qu'on n'ajoute pas d'argent sur le compte et que le taux de rémunération reste constant, quel est le capital sur le compte au 1er janvier 2025 ?
Le capital sur le compte au 1er janvier 2025 correspond à u_5.
Or u_5=5000\times 1{,}03^5.
On en déduit :
u_5=5796{,}370372.
En arrondissant au centime, on obtient :
u_5=5796{,}37.
Le capital sur la compte au 1er janvier 2025 sera 5796,37 €.
Quel est le sens de variation de la suite \left(u_n\right) ?
La suite (u_n) est une suite géométrique de premier terme positif et de raison strictement supérieure à 1.
La suite est donc croissante.
Dans les mêmes conditions, à partir de quelle année le capital dépassera-t-il 7000 € ?
On cherche n tel que u_n>7000.
Or, pour tout entier naturel n, on a :
u_n=5000\times 1{,}03^n.
En calculant les premiers termes de la suite (u_n), on obtient, en arrondissant au centième :
u_{11}\approx 6921{,}17
u_{12}\approx 7128{,}80
Ainsi u_{11}<7000 et u_{12}>7000.
La suite étant croissante, le premier entier n tel que u_{n}>7000 est n=12.
L'année cherchée est donc 2020+12, soit 2032.