En utilisant les propriétés algébriques des fonctions exponentielles, donner une écriture simplifiée des nombres suivants sous la forme a^{x} où a et x sont des réels strictement positifs :
0{,}75^{2{,}4}\times0{,}75^{1{,}5}
On sait que, si a, x et y sont des réels strictement positifs, alors :
a^{x}×a^{y}=a^{x+y}
Ainsi :
0{,}75^{2{,}4}\times0{,}75^{1{,}5} = 0{,}75^{2{,}4+1{,}5}=0{,}75^{3{,}9}
L'écriture simplifiée de 0{,}75^{2{,}4}\times0{,}75^{1{,}5} est donc :
0{,}75^{3{,}9}
\dfrac{1{,}2^{3}\times1{,}2^{0{,}5}}{1{,}2^{1{,}4}}
On sait que :
Si a, x et y sont des réels strictement positifs, alors :
a^{x}×a^{y}=a^{x+y}
Ainsi :
\dfrac{1{,}2^{3}\times1{,}2^{0{,}5}}{1{,}2^{1{,}4}} = \dfrac{1{,}2^{3+0{,}5}}{1{,}2^{1{,}4}}=\dfrac{1{,}2^{3{,}5}}{1{,}2^{1{,}4}}
On sait également que :
Si a \gt 0 et x \gt y \gt 0 alors \dfrac{a^{x}}{{a^{y}}}=a^{x-y}
Donc :
\dfrac{1{,}2^{3{,}5}}{1{,}2^{1{,}4}} =1{,}2^{3{,}5-1{,}4}=1{,}2^{2{,}1}
L'écriture simplifiée de \dfrac{1{,}2^{3}\times1{,}2^{0{,}5}}{1{,}2^{1{,}4}} est donc :
1{,}2^{\ 2{,}1}
(2{,}05^{\ 0{,}5})^{4}\times2{,}05
On sait que, si a, x et y sont des réels strictement positifs, alors :
(a^{x})^{y}=a^{xy}
Ainsi :
(2{,}05^{0{,}5})^{\ 4}=2{,}05^{0{,}5\times 4}=2{,}05^{2}
Donc :
(2{,}05^{0{,}5})^{4}\times2{,}05 =2{,}05^{2}\times 2{,}05=2{,}05^{2}\times 2{,}05^{1}
On sait également que :
Si a, x et y sont des réels strictement positifs, alors :
a^{x}×a^{y}=a^{x+y}
Donc :
2{,}05^{2}\times 2{,}05^{1}=2{,}05^{2+1}
Ainsi, l'écriture simplifiée de (2{,}05^{0{,}5})^{4}\times2{,}05 est donc :
2{,}05^{3}
\sqrt{2}\times \sqrt[3]{2}
On peut écrire \sqrt{2}= 2^{\ \dfrac{1}{2}} et \sqrt[3]{2} = 2^{\dfrac{1}{3}}.
On sait que, si a, b, x et y sont des réels strictement positifs, alors :
a^{x}×a^{y}=a^{x+y}
Ainsi :
\sqrt{2} \times \sqrt[3]{2} = 2^{\dfrac{1}{2}} \times 2^{\dfrac{1}{3}} = 2^{\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{3}}=2^{\ \dfrac{5}{6}}
L'écriture simplifiée de \sqrt{2} \times \sqrt[3]{2} est donc :
2^{\ \dfrac{5}{6}}
\dfrac{(1{,}08^{\ \dfrac{1}{3}})^{6}}{1{,}08^{1{,}2}}
On sait que, si a, x et y sont des réels strictement positifs, alors :
(a^{x})^{y}=a^{xy}
Ainsi :
(1{,}08^{\ \dfrac{1}{3}})^{6}=1{,}08^{\dfrac{1}{3}\times 6}=1{,}08^{2}
On sait aussi que :
Si a \gt 0 et x \gt y \gt 0 alors \dfrac{a^{x}}{{a^{y}}}=a^{x-y}
Donc :
\dfrac{(1{,}08^{\dfrac{1}{3}})^{6}}{1{,}08^{\ 1{,}2}}=1{,}08^{\ 2-1{,}2}
L'écriture simplifiée de \dfrac{(1{,}08^{\ \dfrac{1}{3}})^{6}}{1{,}08^{\ 1{,}2}} est donc :
1{,}08^{0{,}8}
\dfrac{4^{1{,}5}}{3^{1{,}5}}\times \left(\dfrac{4}{3}\right)^{0{,}5}
On sait que, si a, b et x sont des réels strictement positifs, alors :
\dfrac{a^{x}}{b^{x}}=\left(\dfrac{a}{b}\right)^{x}
Ainsi :
\dfrac{4^{1{,}5}}{3^{1{,}5}}\times \left(\dfrac{4}{3}\right)^{0{,}5} = \left(\dfrac{4}{3}\right)^{1{,}5} \times \left(\dfrac{4}{3}\right)^{0{,}5} = \left(\dfrac{4}{3}\right)^{1{,}5+0{,}5}
On en déduit que l'écriture simplifiée de \dfrac{4^{1{,}5}}{3^{1{,}5}}\times \left(\dfrac{4}{3}\right)^{0{,}5} est :
\left(\dfrac{4}{3}\right)^{2}
0{,}3^{1{,}2}\times 0{,}5^{1{,}2} \times 0{,}15^{2{,}3}
On sait que, si a, b et x sont des réels strictement positifs, alors :
a^{x}\times b^{x}=(ab)^{x}
Ainsi :
0{,}3^{1{,}2}\times 0{,}5^{1{,}2} = (0{,}3 \times 0{,}5)^{1{,}2}=0{,}15^{1{,}2}
On a donc :
0{,}3^{1{,}2}\times 0{,}5^{1{,}2} \times 0{,}15^{2{,}3} =0{,}15^{1{,}2} \times 0{,}15^{2{,}3}=0{,}15^{1{,}2+2{,}3}
L'écriture simplifiée de 0{,}3^{1{,}2}\times 0{,}5^{1{,}2} \times 0{,}15^{2{,}3} est donc :
0{,}15^{3{,}5}
\dfrac{4^{0{,}7}}{4^{0{,}2}} \times 2^{2{,}4}
On sait que, si a, x et y sont des réels strictement positifs, avec x \gt y \gt 0, alors :
\dfrac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y}
Ainsi :
\dfrac{4^{0{,}7}}{4^{0{,}2}} =4^{0{,}7-0{,}2}=4^{0{,}5}
Donc :
\dfrac{4^{0{,}7}}{4^{0{,}2}} \times 2^{2{,}4} =4^{0{,}5}\times 2^{2{,}4}
On sait également que 4=2^{2}.
Donc :
4^{0{,}5}=(2^{2})^{0{,}5}=2^{2 \times 0{,}5}=2
Ainsi :
4^{0{,}5}\times 2^{2{,}4}=2\times 2^{2{,}4}=2^{1+2{,}4}
L'écriture simplifiée de \dfrac{4^{0{,}7}}{4^{0{,}2}} \times 2^{2{,}4} est donc :
2^{3{,}4}
\dfrac{\left(\dfrac{9}{4}\right)^{\ 3}}{2{,}25^{1{,}5}}
\dfrac{9}{4}=2{,}25 donc (\dfrac{9}{4})^{\ 3}=2{,}25^{3}.
On sait que, si a, x et y sont des réels strictement positifs, avec x \gt y \gt 0, alors :
\dfrac{a^{x}}{a^{y}}=a^{x-y}
Ainsi :
\dfrac{\left(\dfrac{9}{4}\right)^{\ 3}}{2{,}25^{1{,}5}}=\dfrac{2{,}25^{3}}{2{,}25^{1{,}5}} =2{,}25^{3-1{,}5}
L'écriture simplifiée de \dfrac{\left(\dfrac{9}{4}\right)^{3}}{2{,}25^{1{,}5}} est donc :
2{,}25^{1{,}5}