La suite géométrique (u_{n}) est définie par son premier terme u_{0}=10 et la relation : u_{n+1}=0{,}7u_{n}, pour tout entier naturel n.
Quels sont les 6 premiers termes de la suite ?
Afin de calculer les premiers termes de la suite, on utilise la relation de récurrence :
u_{n+1}=0{,}7u_{n}, pour tout entier naturel n.
Le premier terme est u_{0}=10.
Par ailleurs, on a :
- u_{1}=0{,}7u_{0}=7
- u_{2}=0{,}7u_{1}=0{,}7\times 7 =4{,}9
- u_{3}=0{,}7u_{2}=0{,}7\times 4{,}9=3{,}43
- u_{4}=0{,}7u_{3}=0{,}7\times 3{,}43 =2{,}401
- u_{5}=0{,}7u_{4}=0{,}7\times 2{,}401 =1{,}6807
Les 6 premiers termes de la suite (u_{n}) sont donc :
u_{0}=10 \ {;} \ u_{1}=7 \ {;} \ u_{2}=4{,}9 \ {;} \ u_{3}=3{,}43 \ {;}\ u_{4}=2{,}401 {;}\ u_{5}=1{,}6807
Quelle est la représentation graphique de la suite (u_n) dans un repère orthogonal ?
Une suite (u_{n}) est représentée graphiquement par une succession de points de coordonnées (n ; u_{n}) .
On sait que (u_{n}) est géométrique donc les points (n ; u_{n}) ne sont pas alignés. Ils suivent une courbe caractéristique des évolutions exponentielles.
Le premier point de la représentation graphique de (u_{n}) est donc (0 ;u_{0}) , soit (0 ;10) . De la même manière, on trace les points suivants.
La représentation graphique de la suite (u_{n}) est la suivante :
Quelle est la plus petite valeur de n telle que u_{n} \lt 1 ?
On utilise la représentation graphique de la suite (u_{n}) pour déterminer la plus petite valeur de n pour laquelle u_{n} \lt 1.
Les valeurs de (u_{n}) sont portées sur l'axe des ordonnées : on repère donc mentalement (ou on trace) la droite d'équation y=1.
On observe que le premier terme de la suite (u_{n}) qui est strictement inférieur à 1 est u_{7}.
On en déduit que la plus petite valeur de n telle que u_{n} \lt 1 est 7.
(v_{n}) est une suite géométrique de raison q \gt 0.
On a représenté graphiquement la suite (v_{n}) dans le même repère que la suite (u_{n}).
Que peut-on dire de la raison q ?
La suite géométrique (v_{n}) est représentée par l'ensemble des points de coordonnées (n ; v_{n}) en vert sur le graphique.
On observe que cette suite est croissante.
Or on sait que la monotonie d'une suite géométrique dépend de la valeur de q :
- Lorsque 0<q<1, la suite (u_{n}) est strictement décroissante.
- Lorsque q>1, la suite (u_{n}) est strictement croissante.
- Lorsque q=1, la suite (u_{n}) est constante et vaut 1.
La suite (v_{n}) est croissante donc sa raison q est strictement supérieure à 1.
On en déduit que la raison q de la suite est telle que q \gt 1.
Quelle est la plus petite valeur de n telle que v_{n} \gt u_{n} ?
Sur le graphique, on cherche la plus petite valeur n telle que v_{n} \gt u_{n}.
Graphiquement, cela se produit lorsque le nuage de points représentant la suite (v_{n}) passe au-dessus du nuage de points représentant la suite (u_{n}).
On observe que :
v_{0} \lt u_{0}
v_{1} \lt u_{1}
v_{2} \lt u_{2}
v_{3} \lt u_{3}
v_{4} \gt u_{4}
La suite (v_{n}) étant croissante et la suite (u_{n}) décroissante, on a donc pour tout entier supérieur ou égal à 4 : v_{n} \gt u_{n}.
La plus petite valeur de n telle que v_{n} \gt u_{n} est 4.