Etude de fonctions et fonctions trigonométriquesCours

I

Existence et représentation graphique

A

Le domaine de définition

Domaine de définition

Le domaine de définition D_{f} d'une fonction f est l'ensemble des réels x pour lesquels f\left(x\right) existe.

L'ensemble de définition de la fonction f d'expression f\left(x\right)=3x^5+5x^3-1 est D_f=\mathbb{R}.

B

La courbe représentative

Courbe représentative

La courbe représentative C_{f} d'une fonction f dans un repère du plan est l'ensemble des points de coordonnées \left(x ; f\left(x\right)\right), pour tous les réels x du domaine de définition de f.

-
II

Comportement

A

Le sens de variation

Fonction croissante

Une fonction f est croissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :

f\left(x\right) \leq f\left(y\right)

-

Fonction décroissante

Une fonction f est décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :

f\left(x\right) \geq f\left(y\right)

-

Fonction strictement croissante

Une fonction f est strictement croissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :

f\left(x\right) \lt f\left(y\right)

Fonction strictement décroissante

Une fonction f est strictement décroissante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I, et pour tous réels x et y de I tels que x \lt y :

f\left(x\right) \gt f\left(y\right)

Fonction constante

Une fonction f est constante sur un intervalle I si et seulement si elle est définie sur I et s'il existe un réel a tel que, pour tout réel x de I :

f\left(x\right) = a

-
B

Signe de la dérivée

Sens de variation

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

  • Si f' est positive sur I, alors f est croissante sur I.
  • Si f' est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
  • Si f' est nulle sur I, alors f est constante sur I.

Stricte monotonie

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

  • Si f' est positive et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement croissante sur I.
  • Si f' est négative et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement décroissante sur I.
C

Les extremums

Maximum

Le maximum de la fonction f sur l'intervalle I est le plus grand réel f\left(x\right) pour x décrivant I, s'il existe.

La fonction représentée ci-dessous admet un maximum sur l'intervalle \left[0 ; 2\right].

-

Minimum

Le minimum de la fonction f sur l'intervalle I est le plus petit réel f\left(x\right) pour x décrivant I, s'il existe.

La fonction représentée ci-dessous admet un minimum sur l'intervalle \left[0 ; 2\right].

-

Un extremum est un maximum ou un minimum.

Extremum local

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I :

  • Si f admet un extremum local en un réel a de I, alors f'\left(a\right) = 0 .
  • Si f' s'annule en changeant de signe en a, alors f\left(a\right) est un extremum local de f.
III

Opérations

A

Opérations et variations

Sens de variation de f+g

Si deux fonctions f et g ont le même sens de variation sur l'intervalle I, la fonction h=f + g possède également le même sens de variation sur I.

Les fonctions f et g définies pour tout réel x par f\left(x\right)=x^2 et g\left(x\right)=x^3 sont croissantes sur \left[0;+\infty\right[.

La fonction h définie pour tout réel x par h\left(x\right)=\left(f+g\right)\left(x\right)=x^2+x^3 est donc également croissante sur \left[0;+\infty\right[.

Sens de variation de kf avec k\gt0

Soit k un réel strictement positif. La fonction g=kf possède le même sens de variation que la fonction f sur l'intervalle I.

Soit la fonction f définie pour tout réel x par f\left(x\right)=x^2. f est croissante sur \left[0;+\infty\right[.

Soit g la fonction définie pour tout réel x par g\left(x\right)=3f\left(x\right)=3x^2. Comme 3\gt0, la fonction g est également croissante sur \left[0;+\infty\right[.

Sens de variation de kf avec k\lt0

Soit k un réel strictement négatif. La fonction g=kf possède le sens de variation contraire à celui de la fonction f sur l'intervalle I.

Soit la fonction f définie pour tout réel x par f\left(x\right)=x^2. f croissante sur \left[0;+\infty\right[.

Soit g la fonction définie pour tout réel x par g\left(x\right)=-5f\left(x\right)=-5x^2. On a -5 \lt 0, donc g est décroissante sur \left[0;+\infty\right[.

Sens de variation de \sqrt u

Soit u une fonction positive sur I.

Les fonctions u et \sqrt u ont le même sens de variation sur I.

La fonction f définie pour tout réel x de \mathbb{R}^{+*} par f\left(x\right)=\dfrac1x est positive et décroissante sur \mathbb{R}^{+*}.

La fonction g définie pour tout réel x de \mathbb{R}^{+*} par g\left(x\right)=\sqrt {\dfrac{1}{x}} est donc décroissante sur \mathbb{R}^{+*}.

Sens de variation de \dfrac1u

Soit u une fonction ne s'annulant pas sur I.

Les fonctions u et \dfrac1 u ont des sens de variation contraires sur I.

Soit f la fonction définie sur \left]-\dfrac53;+\infty\right[, à valeurs non nulles dans \left]-\dfrac53;+\infty\right[, par f\left(x\right)=3x+5. f est croissante sur \left]-\dfrac53;+\infty\right[.

La fonction g définie sur \left]-\dfrac53;+\infty\right[ par g\left(x\right)=\dfrac{1}{3x+5} est donc décroissante sur \left]-\dfrac53;+\infty\right[.

B

Le signe d'une fonction

Fonction positive

Une fonction f est positive sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :

f\left(x\right) \geq 0

Une fonction est positive sur I si et seulement si sa courbe représentative est située au-dessus de l'axe des abscisses sur I.

La fonction représentée ci-dessous est positive sur l'intervalle \left[0 ; 2\right].

-

Fonction négative

Une fonction f est négative sur I si et seulement si, pour tout réel x de I :

f\left(x\right) \leq0

Une fonction est négative sur I si et seulement si sa courbe représentative est située en dessous de l'axe des abscisses sur I.

La fonction représentée ci-contre est négative sur l'intervalle \left[0 ; 2\right].

-
IV

Les fonctions trigonométriques

A

Propriétés de parité et de périodicité d'une fonction

1

Fonctions paires et impaires : domaine de définition

Fonction paire

Soit f une fonction définie sur I. f est paire si et seulement si :

  • I est centré en 0.
  • Pour tout x\in I, f\left(-x\right)=f\left(x\right).

Soit la fonction f\left(x\right)=x^2 définie sur \mathbb{R}.

  • \mathbb{R} est centré en 0.
  • Pour tout réel x\in\mathbb{R}, f\left(-x\right)=\left(-x\right)^2=x^2=f\left(x\right).

La fonction f est donc paire.

La courbe représentative d'une fonction paire est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées du repère.

-
Fonction impaire

Soit f une fonction définie sur I. f est impaire si et seulement si :

  • I est centré en 0.
  • Pour tout x\in I, f\left(-x\right)=-f\left(x\right).

Soit la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=x^3.

  • \mathbb{R} est centré en 0.
  • Pour tout réel x\in\mathbb{R}, f\left(-x\right)=\left(-x\right)^3=-x^3=-f\left(x\right).

La fonction f est donc impaire.

La courbe représentative d'une fonction impaire est symétrique par rapport à l'origine du repère.

-
2

Périodicité d'une fonction

Fonction périodique

Soit f une fonction définie sur I. Soit T un réel strictement positif.

f est périodique de période T (ou T-périodique) si et seulement si :

  • Pour tout réel x tel que x\in I, on a également x+T\in I.
  • Pour tout réel x appartenant à I, f\left(x+T\right)=f\left(x\right).
-

Soit la fonction définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\sin\left(x\right).

Pour tout réel x :

  • Pour tout x\in \mathbb{R}, on a \left(x+2\pi\right)\in \mathbb{R}
  • f\left(x+2\pi\right)=\sin\left(x+2\pi\right)=\sin\left(x\right)=f\left(x\right)

Donc la fonction f est périodique de période 2\pi.

B

La fonction sinus

1

Définition

Fonction sinus

La fonction sinus est définie sur \mathbb{R} par :

f\left(x\right) = \sin\left(x\right)

  • La fonction sinus est impaire.
  • La fonction sinus est périodique de période 2\pi .
  • Pour tout réel x, -1\leqslant \sin\left(x\right)\leqslant 1
  • La fonction sinus est dérivable et continue sur \mathbb{R} et la dérivée de la fonction sinus est la fonction cosinus.
Taux d'accroissement et limite

En reconnaissant le taux d'accroissement de la fonction sinus en 0 :

\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin\left(x\right)}{x} = \sin'\left(0\right) = \cos\left(0\right) = 1

2

Sens de variation

Sur \left[ \dfrac{-\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2} \right], les variations de la fonction sinus sont les suivantes :

-
3

Courbe représentative

La courbe représentative de la fonction sinus est la suivante :

-
C

La fonction cosinus

1

Définition

Fonction cosinus

La fonction cosinus est définie sur \mathbb{R} par :

f\left(x\right) = \cos\left(x\right)

  • La fonction cosinus est paire.
  • La fonction cosinus est périodique de période 2\pi .
  • Pour tout réel x, -1\leqslant \cos\left(x\right) \leqslant1
  • La fonction cosinus est dérivable et continue sur \mathbb{R} et la dérivée de la fonction cosinus est l'opposé de la fonction sinus.
2

Sens de variation

Les variations de la fonction cosinus sur \left[ -\pi;\pi \right] sont les suivantes :

-
3

Courbe représentative

La courbe représentative de la fonction cosinus est la suivante :

-