Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty} x +\cos x
La fonction cosinus étant majorée par 1 et minorée par -1 :
\forall x \in \mathbb{R}, -1 \leq \cos x \leq 1
Donc \forall x \in \mathbb{R}, x-1 \leq x+\cos x \leq x+ 1
Or, on a :
\lim\limits_{x \to +\infty}x-1= +\infty
Par comparaison, on a donc :
\lim\limits_{x \to +\infty} x+\cos x= +\infty
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{xsinx}{x^2+3}
La fonction sinus étant majorée par 1 et minorée par -1 :
\forall x \in \mathbb{R}, -1 \leq \sin x \leq 1
Donc \forall x \in \mathbb{R}, -x \leq xsin x \leq x
Et finalement \forall x \in \mathbb{R}, -\dfrac{x}{x^2+3}\leq \dfrac{xsinx}{x^2+3}\leq \dfrac{x}{x^2+3}
Or, on a :
\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x}{x^2+3}= \lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{1}{x+\dfrac{3}{x}} = 0
D'après le théorème des gendarmes, on a donc :
\lim\limits_{x \to +\infty}\dfrac{xsinx}{x^2+3} = 0
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{sinx}
D'après le cours on sait que :
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1.
Donc :
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{sinx} = \dfrac{1}{1}
Finalement :
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{x}{sinx} = 1
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac {\sin\left(4x\right)}{4x}
On pose : X = 4x
On a alors :
\dfrac{\sin\left(4x\right)}{4x} = \dfrac{sinX}{X}
Or lorsque x tend vers 0, X tend vers 0 aussi.
On cherche donc \lim\limits_{X \to 0}\dfrac{sinX}{X}
Or, d'après le cours on sait que :
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1.
Donc :
\lim\limits_{X \to 0} \dfrac{sinX}{X} = 1
Et par conséquent :
\lim\limits_{x \to 0} \left(\dfrac{\sin\left(4x\right)}{4x} \right) = 1
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac {\sin\left(2x\right)}{5x}
On pose : X = 2x
On a alors :
\dfrac{\sin\left(2x\right)}{5x} = \dfrac{sin2x}{\dfrac{5}{2}\times 2x}=\dfrac{sinX}{\dfrac{5}{2}\times X}=\dfrac{2}{5}\dfrac{sinX}{X}
Or lorsque x tend vers 0, X tend vers 0 aussi.
On cherche donc \lim\limits_{X \to 0}\dfrac{sinX}{X}
Or, d'après le cours on sait que :
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1.
Donc :
\lim\limits_{X \to 0} \dfrac{sinX}{X} = 1
Et \lim\limits_{X \to 0} \dfrac{2}{5}\dfrac{sinX}{X} = \dfrac{2}{5}
Et par conséquent :
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac {\sin\left(2x\right)}{5x} = \dfrac{2}{5}
Quelle est la valeur de la limite suivante ?
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac {\sin\left(x-2\right)}{3x-6}
On pose : X = x-2
On a alors :
\dfrac{\sin\left(x-2\right)}{3x-6} = \dfrac{\sin\left(x-2\right)}{3\times \left(x-2\right)}= \dfrac{sinX}{3\times X}=\dfrac{1}{3}\dfrac{sinX}{X}
Or lorsque x tend vers 2, X tend vers 0.
On cherche donc \lim\limits_{X \to 0}\dfrac{sinX}{X}
Or, d'après le cours on sait que :
\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{x} = 1.
Donc :
\lim\limits_{X \to 0} \dfrac{sinX}{X} = 1
Et \lim\limits_{X \to 0} \dfrac{1}{3}\dfrac{sinX}{X} = \dfrac{1}{3}
Et par conséquent :
\lim\limits_{x \to 2} \dfrac {\sin\left(x-2\right)}{3x-6} = \dfrac{1}{3}