Etudier la périodicité d'une fonctionMéthode

Une fonction f définie sur I est périodique de période T si et seulement si \forall x \in I, x+T\in I et f\left(x+ T\right)= f\left(x\right).

Soit la fonction f définie par :

\forall x\in \mathbb{R}, f\left(x\right) = 3\sin \left(4x-1\right)

Étudier la périodicité de f.

Etape 1

Conjecturer si possible la période

On conjecture la période T de la fonction à l'aide de son expression.

Les fonctions sinus et cosinus sont 2\pi -périodiques. On a donc, pour tout réel X :

f\left(X+ 2\pi\right) = f\left(X\right)

Sachant cela, on peut en déduire qu'une fonction f de type f\left(x\right) = \cos \left(ax+b\right) (ou f\left(x\right) = \sin \left(ax+b\right) ) est \dfrac{2\pi}{a} -périodique.

En effet :

f\left(X+ \dfrac{2\pi}{a}\right) = \cos \left(a\left(x + \dfrac{2\pi}{a}\right) + b\right)= \cos \left(ax+b + 2\pi\right)=\cos\left(ax+b\right)

La fonction définie par :

\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) =\cos \left(3x+2\right)

est périodique de période \dfrac{2\pi}{3}.

Si une fonction comporte deux expressions trigonométriques, on choisit le plus petit multiple commun aux deux périodes.

On a, \forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) = 3\sin \left(4x-1\right).

On conjecture donc que f est périodique de période \dfrac{\pi}{2}.

Etape 2

Vérifier les conditions de périodicité

On vérifie que pour tout x\in D_f, on a x+T\in D_f.

On calcule ensuite f\left(x+T\right), et on l'exprime en fonction de f\left(x\right).

On a, pour tout réel x, x+\dfrac{\pi}{2}\in \mathbb{R}.

De plus, pour tout réel x :

f\left(x+ \dfrac{\pi}{2}\right) = 3\sin \left(4\left(x+\dfrac{\pi}{2}\right)-1\right)

D'où, pour tout réel x :

f\left(x+ \dfrac{\pi}{2}\right) = 3\sin \left(4x+4\times \dfrac{\pi}{2}-1\right)

f\left(x+ \dfrac{\pi}{2}\right) = 3\sin \left(4x-1 +2\pi\right)

Donc, pour tout réel x :

f\left(x+ \dfrac{\pi}{2}\right) = 3\sin \left(4x-1 \right)

Etape 3

Conclure

Si f\left(x\right) = f\left(x+T\right) alors la fonction est périodique de période T.

On a, pour tout réel x :

f\left(x+ \dfrac{\pi}{2}\right) = f\left(x\right)

Donc la fonction f est périodique de période \dfrac{\pi}{2}.