La dérivation Cours

I

Le nombre dérivé

Dans cette partie, on considère une fonction f et un intervalle ouvert I inclus dans l'ensemble de définition de f.

A

Le taux d'accroissement

Taux d'accroissement

Soit un réel a appartenant à l'intervalle I. Pour tout réel h non nul tel que \(\displaystyle{a + h}\) appartienne à I, on appelle taux d'accroissement ou taux de variation de f entre a et \(\displaystyle{a + h}\) le quotient :

\(\displaystyle{\dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}}\)

En posant \(\displaystyle{x = a + h}\), le taux d'accroissement entre x et a s'écrit :

\(\displaystyle{\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}}\)

Nombre dérivé

Soit a un réel de l'intervalle I. Une fonction f est dérivable en a si et seulement si son taux d'accroissement en a admet une limite finie quand h tend vers 0 (ou quand x tend vers \(\displaystyle{a}\) dans la deuxième écriture possible du taux d'accroissement).

Cette limite, si elle existe et est finie, est appelée nombre dérivé de f en a, et est notée \(\displaystyle{f'\left(a\right)}\) :

\(\displaystyle{\lim_{h \to 0}\dfrac{f\left(a+h\right)-f\left(a\right)}{h}=\lim_{x \to a}\dfrac{f\left(x\right)-f\left(a\right)}{x-a}= f'\left(a\right)}\)

On considère la fonction f définie pour tout réel x par \(\displaystyle{f\left(x\right) = x^2 + 1}\).

Son taux d'accroissement en 1 est égal à :

\(\displaystyle{\dfrac{\left(x^2+1\right) - \left(1^2 + 1\right)}{x-1} = \dfrac{x^2 -1}{x-1} = \dfrac{\left(x+1\right)\left(x-1\right)}{x-1} = x+1}\)

Or :

\(\displaystyle{\lim_{x \to 1} x+1 = 2}\) et \(\displaystyle{2\in\mathbb{R}}\)

On en déduit que la fonction f est dérivable en 1 et que le nombre dérivé de f en 1 est \(\displaystyle{f'\left(1\right) = 2}\).

Si f est dérivable en a, alors f est continue en a.

B

La tangente à une courbe d'une fonction en un point

Tangente

Soit a un réel de l'intervalle I. Si f est dérivable en a, sa courbe représentative admet une tangente non parallèle à l'axe des ordonnées au point de coordonnées \(\displaystyle{\left(a ; f\left(a\right)\right)}\), de coefficient directeur \(\displaystyle{f'\left(a\right)}\), dont une équation est :

\(\displaystyle{y = f'\left(a\right) \left(x - a\right) + f\left(a\right)}\)

On considère la fonction f définie pour tout réel x par \(\displaystyle{f\left(x\right) = x^2 + 1}\). f est dérivable en 1, on peut donc établir une équation de la tangente à sa courbe au point d'abscisse 1 :

\(\displaystyle{y = f'\left(1\right) \left(x - 1\right) + f\left(1\right)}\)

Or :

  • \(\displaystyle{f'\left(1\right)=2}\)
  • \(\displaystyle{f\left(1\right)=1^2+1=2}\)

On obtient donc :

\(\displaystyle{y = 2\left(x-1\right) + 2}\)

\(\displaystyle{y = 2x - 2 + 2}\)

\(\displaystyle{y = 2x}\)

La tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse 1 a pour équation \(\displaystyle{y = 2x}\).

II

La fonction dérivée

A

La dérivée sur un intervalle

Fonction dérivée

Une fonction f est dérivable sur un intervalle I si et seulement si elle est dérivable en tout réel de cet intervalle.
On appelle alors fonction dérivée de f sur I la fonction notée f', qui a tout réel x de I associe \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\).

Si f est dérivable sur I, alors f est continue sur I.

Dérivée seconde

Soit une fonction f dérivable sur un intervalle I.
Si f' est également dérivable sur I, la dérivée de f' sur I, notée f'', est appelée dérivée seconde de f sur I ou dérivée d'ordre 2 de f sur I.

B

Les dérivées des fonctions usuelles

Soient un réel \(\displaystyle{\lambda}\) et un entier naturel n ; on désigne par \(\displaystyle{D_{f}}\) le domaine de définition de f et par \(\displaystyle{D_{f'}}\) son domaine de dérivabilité.

Les dérivées des fonctions usuelles sont données dans le tableau suivant :

\(\displaystyle{f\left(x\right)}\) \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) \(\displaystyle{D_{f}}\) \(\displaystyle{D_{f'}}\)
\(\displaystyle{\lambda}\) \(\displaystyle{0}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{x}\) \(\displaystyle{1}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{x^{n} \left(n \geq 1\right)}\) \(\displaystyle{nx^{n-1}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)
\(\displaystyle{\dfrac{1}{x^n}\left(n \geq 1\right)}\) \(\displaystyle{-\dfrac{n}{x^{n+1}}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}^{*}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}^{*}}\)
\(\displaystyle{\sqrt{x}}\) \(\displaystyle{\dfrac{1}{2\sqrt{x}}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+}}\) \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+{\color{Red}*}}}\)
C

Les opérations sur les dérivées

Soit un réel \(\displaystyle{\lambda}\), on désigne par u et v deux fonctions dérivables sur un intervalle I.

\(\displaystyle{f}\) \(\displaystyle{f'}\)
\(\displaystyle{\lambda u}\) \(\displaystyle{\lambda u'}\)
\(\displaystyle{u + v}\) \(\displaystyle{u' + v'}\)
\(\displaystyle{uv}\) \(\displaystyle{u'v + uv'}\)
\(\displaystyle{\dfrac{1}{v}}\) (si v ne s'annule pas sur \(\displaystyle{I}\) ) \(\displaystyle{-\dfrac{v'}{v^2}}\)
\(\displaystyle{\dfrac{u}{v}}\) (si v ne s'annule pas sur \(\displaystyle{I}\) ) \(\displaystyle{\dfrac{u'v–uv'}{v^2}}\)
D

Les dérivées de fonctions composées

\(\displaystyle{f}\) \(\displaystyle{f'}\)
\(\displaystyle{u^{n} \left(n \geq 1\right)}\) \(\displaystyle{nu'u^{n-1}}\)
\(\displaystyle{\sqrt{u}}\) (si \(\displaystyle{u\left(x\right)}\) \(\displaystyle{{\color{Red}\gt}}\) \(\displaystyle{0}\) ) \(\displaystyle{\dfrac{u'}{2\sqrt{u}}}\)
III

Les applications de la dérivation

A

Le sens de variation d'une fonction

Sens de variation

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

  • si f' est positive sur I, alors f est croissante sur I.
  • si f' est négative sur I, alors f est décroissante sur I.
  • si f' est nulle sur I, alors f est constante sur I.

Soit f la fonction définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=x^3-3x+1}\). f est dérivable sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) en tant que fonction polynôme et, pour tout réel x :

\(\displaystyle{f'\left(x\right)=3x^2-3=3\left(x^2-1\right)=3\left(x-1\right)\left(x+1\right)}\)

On détermine le signe de \(\displaystyle{f'\left(x\right)}\) :

-

On en déduit le sens de variation de f :

  • f est croissante sur \(\displaystyle{\left]-\infty;-1 \right]}\) et sur \(\displaystyle{\left[1;+\infty \right[}\).
  • f est décroissante sur \(\displaystyle{\left[ -1;1 \right]}\).

Stricte monotonie

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I :

  • si f' est positive et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement croissante sur I.
  • si f' est négative et ne s'annule qu'en un nombre fini de réels sur I, alors f est strictement décroissante sur I.
B

Les extremums locaux d'une fonction

Extremum local

Soit f une fonction dérivable sur un intervalle ouvert I :

  • Si f admet un extremum local en un réel a de I, alors \(\displaystyle{f'\left(a\right) = 0 }\) et \(\displaystyle{f{'}}\) change de signe en a.
  • Si f' s'annule en changeant de signe en a, alors \(\displaystyle{f\left(a\right)}\) est un extremum local de f.

Si \(\displaystyle{f{'}}\) s'annule en a et y passe d'un signe négatif à un signe positif, alors l'extremum est un minimum.

Si \(\displaystyle{f{'}}\) s'annule en a et y passe d'un signe positif à un signe négatif, alors l'extremum est un maximum.

On reprend l'exemple de la fonction f définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=x^3-3x+1}\). On sait que f' s'annule et change de signe en 1, avec \(\displaystyle{f'\left(x\right)\leqslant0}\) sur \(\displaystyle{\left[ -1;1 \right]}\) et \(\displaystyle{f'\left(x\right)\geqslant0}\) sur \(\displaystyle{\left[1;+\infty \right[}\).

Ainsi, f admet un minimum local en 1.

f' peut s'annuler en un réel a (en ne changeant pas de signe) sans que f admette un extremum local en a. C'est par exemple le cas de la fonction cube en 0.

Tangente horizontale

Si f admet un extremum local en a, alors sa courbe représentative admet une tangente horizontale au point d'abscisse a.

Sommaire

ILe nombre dérivéALe taux d'accroissementBLa tangente à une courbe d'une fonction en un pointIILa fonction dérivéeALa dérivée sur un intervalleBLes dérivées des fonctions usuellesCLes opérations sur les dérivéesDLes dérivées de fonctions composéesIIILes applications de la dérivationALe sens de variation d'une fonctionBLes extremums locaux d'une fonction