On peut déterminer graphiquement la valeur de la dérivée d'une fonction f en un réel a, en utilisant la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a.
Réciter le cours
On rappelle que \(\displaystyle{f'\left(a\right)}\) est égal au coefficient directeur de la tangente à \(\displaystyle{C_f}\) au point d'abscisse a.
\(\displaystyle{f'\left(0\right)}\) vaut le coefficient directeur de la tangente à \(\displaystyle{C_f}\) au point d'abscisse 0.
Repérer la tangente sur le graphique
On repère sur le graphique la tangente à \(\displaystyle{C_f}\) au point d'abscisse a si elle est déjà tracée.
\(\displaystyle{T_0}\) est la tangente à \(\displaystyle{C_f}\) au point d'abscisse 0.
Calculer le coefficient directeur
On calcule le coefficient directeur de la tangente :
\(\displaystyle{\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}\)
Donc le coefficient directeur de \(\displaystyle{T_0}\) vaut :
\(\displaystyle{\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = \dfrac{6-0}{2-\left(-1\right)}}\)
\(\displaystyle{\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = \dfrac{6}{3}}\)
\(\displaystyle{\dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A} = 2}\)
Conclure
\(\displaystyle{f'\left(a\right)}\) est égal au coefficient directeur de la tangente à \(\displaystyle{C_f}\) au point d'abscisse a.
On conclut :
\(\displaystyle{f'\left(a\right) = \dfrac{y_B-y_A}{x_B-x_A}}\)
Le coefficient directeur de la tangente à \(\displaystyle{C_f}\) au point d'abscisse 0 vaut 2, ainsi :
\(\displaystyle{f'\left(0\right) = 2}\)