Déterminer le signe d'une fonction à partir de son tableau de variationsMéthode

Méthode 1

Lorsque la fonction admet un maximum négatif

Une fonction admettant un maximum négatif sur un intervalle I est négative sur I.

On donne le tableau de variations suivant associé à une fonction f définie sur \mathbb{R} :

-

Déterminer le signe de f sur \mathbb{R}.

Etape 1

Repérer le maximum

On identifie la valeur du maximum dans le tableau de variations.

Le maximum sur \mathbb{R} de la fonction f est égal à −4.

Etape 2

Énoncer le cours

On rappelle que si une fonction f admet un maximum négatif sur son intervalle de définition I alors cette fonction est négative sur I.

Le maximum sur \mathbb{R} de la fonction f est égal à −4, il est donc négatif.

Or, une fonction admettant un maximum négatif sur son intervalle de définition I est négative sur I.

Etape 3

Conclure

On conclut que f est négative sur I.

Ainsi, f est négative sur \mathbb{R}.

Méthode 2

Lorsque la fonction admet un minimum positif

Une fonction admettant un minimum positif sur un intervalle I est positive sur I.

On donne le tableau de variations suivant associé à une fonction f définie sur \mathbb{R} :

-

Déterminer le signe de f sur \mathbb{R}.

Etape 1

Repérer le minimum

On identifie la valeur du minimum dans le tableau de variations.

Le minimum sur \mathbb{R} de la fonction f est égal à 1.

Etape 2

Énoncer le cours

On rappelle que si une fonction f admet un minimum positif sur son intervalle de définition I alors cette fonction est positive sur I.

Le minimum sur \mathbb{R} de la fonction f est égal à 1, il est donc positif.

Or, une fonction admettant un minimum positif sur son intervalle de définition I est positive sur I.

Etape 3

Conclure

On conclut que f est positive sur I.

Ainsi, f est positive sur \mathbb{R}.

Méthode 3

Dans les autres cas

Grâce au tableau de variations et aux informations qu'il contient sur la fonction f, il est possible de déterminer le signe de cette fonction si l'on connaît les réels pour lesquels la fonction s'annule.

On donne le tableau de variations suivant associé à une fonction f définie sur \mathbb{R} :

-

On précise que f\left(4\right) = 0.

Déterminer le signe de f sur \mathbb{R}.

Etape 1

Repérer les limites et extremums locaux dans le tableau de variations

On identifie les limites et extremums locaux de la fonction.

D'après le tableau de variations :

  • \lim\limits_{x \to -\infty} f\left(x\right) = -10
  • \lim\limits_{x \to +\infty} f\left(x\right) = 10
  • f\left(-5\right) =- 2
  • f\left(2\right)=-5
Etape 2

Repérer les points où la fonction change de signe

On identifie les abscisses des points de changement de signe. On les nomme si besoin ( x_1, x_2, etc.)

D'après l'énoncé, f\left(4\right)= 0 donc la fonction f change de signe au point d'abscisse 4.

Etape 3

Dresser un tableau de variations faisant apparaître les "0"

On complète le tableau de variations en y renseignant les points pour lesquels la fonction s'annule.

On complète le tableau de variations en y renseignant le point pour lequel la fonction change de signe :

-
Etape 4

Conclure sur le signe de la fonction

À l'aide du tableau de variations complété, on conclut sur le signe de la fonction.

On observe dans le tableau de variations que :

  • \forall x \in \left]-\infty ; 4 \right[, f\left(x\right) \lt 0
  • \forall x \in \left]4; +\infty \right[, f\left(x\right) \gt 0

On obtient le signe de f\left(x\right) suivant les valeurs de x :

-

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