Déterminer la position relative d'une courbe et de sa tangente Méthode

Sommaire

1Rappeler l'équation de la tangente 2Énoncer la démarche 3Calculer f\left(x\right)-\left(ax+b\right) 4Étudier le signe de f\left(x\right)-\left(ax+b\right) 5Conclure

Après avoir déterminé une équation de la tangente, il est souvent demandé de déterminer la position relative de la courbe et de cette tangente, c'est-à-dire d'étudier laquelle est graphiquement au-dessus de l'autre. Cette question se résout par une étude de signe.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right)=x^3-2x^2+x-4

On appelle C_f sa courbe représentative et T sa tangente au point d'abscisse 0 d'équation y=x-4.

Déterminer la position relative de C_f et de T.

Etape 1

Rappeler l'équation de la tangente

D'après le cours, on sait qu'une équation de la tangente à C_f (la courbe représentative de f) au point d'abscisse a est :

y = f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)

Si on ne connaît pas déjà l'équation de la tangente, on la détermine.

Une expression de la tangente T au point d'abscisse 0 est ici connue :

T:y= x-4

Etape 2

Énoncer la démarche

On énonce la démarche : pour étudier la position relative de C_f et de T:y=ax+b, on étudie le signe de f\left(x\right) -\left(ax+b\right).

Pour étudier la position relative de C_f et de T, on étudie le signe de f\left(x\right) -\left(x-4\right).

Etape 3

Calculer f\left(x\right)-\left(ax+b\right)

On calcule f\left(x\right) -\left(ax+b\right) et on simplifie au maximum afin d'obtenir une expression dont il est facile de déterminer le signe.

Pour tout réel x :

f\left(x\right) - \left(x-4\right)= x^3-2x^2+x-4 -x+4

f\left(x\right) - \left(x-4\right)= x^3-2x^2

On factorise alors l'expression obtenue pour pouvoir ensuite étudier son signe :

f\left(x\right) - \left(x-4\right)= x^2\left(x-2\right)

Etape 4

Étudier le signe de f\left(x\right)-\left(ax+b\right)

On étudie le signe de f\left(x\right) -\left(ax+b\right) en fonction des valeurs de x. On peut utiliser un tableau de signes en cas d'expression compliquée.

On étudie le signe de f\left(x\right) -\left(x-4\right) :

  • Pour tout réel x, x^2 \geq0
  • x-2 \gt 0 \Leftrightarrow x \gt 2

On en déduit le tableau de signes suivant :

-
Etape 5

Conclure

On conclut sur la position relative, en trois points :

  • Sur les intervalles où f\left(x\right) -\left(ax+b\right) \gt 0, C_f est au-dessus de T.
  • Sur les intervalles où f\left(x\right) -\left(ax+b\right) \lt 0, C_f est en dessous de T.
  • Lorsque f\left(x\right) -\left(ax+b\right) = 0, C_f et T ont un point d'intersection (c'est le cas notamment pour le point de tangence).

Ainsi :

  • C_f est au-dessus de T sur \left]2 ; +\infty \right[.
  • C_f est en dessous de T sur \left]-\infty;2 \right[.
  • C_f et T se coupent au point d'abscisse 2 et ont un point de tangence au point d'abscisse 0.