Déterminer la position relative d'une courbe et de sa tangenteMéthode

Après avoir déterminé une équation de la tangente, il est souvent demandé de déterminer la position relative de la courbe et de cette tangente, c'est-à-dire d'étudier laquelle est graphiquement au-dessus de l'autre. Cette question se résout par une étude de signe.

On considère la fonction f définie sur \mathbb{R} par :

\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right)=x^3-2x^2+x-4

On appelle C_f sa courbe représentative et T sa tangente au point d'abscisse 0 d'équation y=x-4.

Déterminer la position relative de C_f et de T.

Etape 1

Rappeler l'équation de la tangente

D'après le cours, on sait qu'une équation de la tangente à C_f (la courbe représentative de f) au point d'abscisse a est :

y = f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)

Si on ne connaît pas déjà l'équation de la tangente, on la détermine.

Une expression de la tangente T au point d'abscisse 0 est ici connue :

T:y= x-4

Etape 2

Énoncer la démarche

On énonce la démarche : pour étudier la position relative de C_f et de T:y=ax+b, on étudie le signe de f\left(x\right) -\left(ax+b\right).

Pour étudier la position relative de C_f et de T, on étudie le signe de f\left(x\right) -\left(x-4\right).

Etape 3

Calculer f\left(x\right)-\left(ax+b\right)

On calcule f\left(x\right) -\left(ax+b\right) et on simplifie au maximum afin d'obtenir une expression dont il est facile de déterminer le signe.

Pour tout réel x :

f\left(x\right) - \left(x-4\right)= x^3-2x^2+x-4 -x+4

f\left(x\right) - \left(x-4\right)= x^3-2x^2

On factorise alors l'expression obtenue pour pouvoir ensuite étudier son signe :

f\left(x\right) - \left(x-4\right)= x^2\left(x-2\right)

Etape 4

Étudier le signe de f\left(x\right)-\left(ax+b\right)

On étudie le signe de f\left(x\right) -\left(ax+b\right) en fonction des valeurs de x. On peut utiliser un tableau de signes en cas d'expression compliquée.

On étudie le signe de f\left(x\right) -\left(x-4\right) :

  • Pour tout réel x, x^2 \geq0
  • x-2 \gt 0 \Leftrightarrow x \gt 2

On en déduit le tableau de signes suivant :

-
Etape 5

Conclure

On conclut sur la position relative, en trois points :

  • Sur les intervalles où f\left(x\right) -\left(ax+b\right) \gt 0, C_f est au-dessus de T.
  • Sur les intervalles où f\left(x\right) -\left(ax+b\right) \lt 0, C_f est en dessous de T.
  • Lorsque f\left(x\right) -\left(ax+b\right) = 0, C_f et T ont un point d'intersection (c'est le cas notamment pour le point de tangence).

Ainsi :

  • C_f est au-dessus de T sur \left]2 ; +\infty \right[.
  • C_f est en dessous de T sur \left]-\infty;2 \right[.
  • C_f et T se coupent au point d'abscisse 2 et ont un point de tangence au point d'abscisse 0.