Soit la fonction f définie sur \left]0;+\infty\right[ par f\left(x\right)=\dfrac{3x+2}{2\sqrt{x}}.
Quelle est la valeur de f'(x) ?
On pose, pour tout réel x strictement positif, u\left(x\right)=3x+2 et v\left(x\right)=2\sqrt x.
u et v sont dérivables sur \left]0;+\infty\right[ et, pour tout réel x strictement positif, on a :
u'\left(x\right)=3 et v'\left(x\right)=\dfrac1{\sqrt x}.
f=\dfrac uv, donc f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.
Ainsi, pour tout réel x strictement positif, on obtient :
\begin{aligned}\\f'\left(x\right)&=\dfrac{3\times2\sqrt x-\left(3x+2\right)\times\dfrac1{\sqrt x}}{\left(2\sqrt x\right)^2}&\\&=\dfrac{6\sqrt x-\dfrac{3x}{\sqrt x}-\dfrac2{\sqrt x}}{4x}&\\&=\dfrac{\dfrac{6x-3x-2}{\sqrt x}}{4x}&\\&=\dfrac{3x-2}{\sqrt{x}}\times\dfrac1{4x}&\\&=\dfrac{3x-2}{4x\sqrt x} \end{aligned}
Pour tout x\in\left]0;+\infty\right[, f'\left(x\right)=\dfrac{3x-2}{4x\sqrt x}
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac47\right\} par f\left(x\right)=\dfrac{-x+1}{4-7x}.
Quelle est la valeur de f'(x) ?
On pose, pour tout réel x différent de \dfrac47, u\left(x\right)=-x+1 et v\left(x\right)=4-7x.
u et v sont dérivables sur \mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac47\right\} et, pour tout réel x différent de \dfrac47, on a :
u'\left(x\right)=-1 et v'\left(x\right)=-7.
f=\dfrac uv, donc f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.
Ainsi, pour tout réel x différent de \dfrac47, on obtient :
\begin{aligned}\\f'\left(x\right)&=\dfrac{-1\left(4-7x\right)-\left(-x+1\right)\times\left(-7\right)}{\left(4-7x\right)^2}&\\&=\dfrac{-4+7x-7x+7}{\left(4-7x\right)^2}&\\&=\dfrac{3}{\left(4-7x\right)^2}&\\\end{aligned}
Pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac47\right\}, f'\left(x\right)=\dfrac{3}{\left(4-7x\right)^2}
Soit la fonction f définie sur \left[0;+\infty\right[ par f\left(x\right)=\dfrac{5\sqrt x}{3x+1}.
Quelle est la valeur de f'(x) ?
On pose, pour tout réel x positif, u\left(x\right)=5\sqrt x et v\left(x\right)=3x+1.
u et v sont dérivables sur \left]0;+\infty\right[ et, pour tout réel x strictement positif, on a :
u'\left(x\right)=\dfrac5{2\sqrt x} et v'\left(x\right)=3.
f=\dfrac uv, donc f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.
Ainsi, pour tout réel x strictement positif, on obtient :
\begin{aligned}\\f'\left(x\right)&=\dfrac{\dfrac5{2\sqrt x}\left(3x+1\right)-5\sqrt x\times3}{\left(3x+1\right)^2}&\\&=\dfrac{\dfrac{15x+5}{2\sqrt x}-15\sqrt x}{\left(3x+1\right)^2}&\\&=\dfrac{\dfrac{15x+5-30x}{2\sqrt x}}{\left(3x+1\right)^2}&\\&=\dfrac{-15x+5}{2\sqrt x}\times\dfrac1{\left(3x+1\right)^2}\\&=-\dfrac{5\left(3x-1\right)}{2\sqrt x\left(3x+1\right)^2}\end{aligned}
Pour tout x\in\left]0;+\infty\right[, f'\left(x\right)=-\dfrac{5\left(3x-1\right)}{2\sqrt x\left(3x+1\right)^2}
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{-\sqrt7;\sqrt7\right\} par f\left(x\right)=\dfrac{x^3-1}{x^2-7}.
Quelle est la valeur de f'(x) ?
On pose, pour tout réel x différent de -\sqrt7 et de \sqrt7, u\left(x\right)=x^3-1 et v\left(x\right)=x^2-7.
u et v sont dérivables sur \mathbb{R}\backslash\left\{-\sqrt7;\sqrt7\right\} et, pour tout réel x différent de -\sqrt7 et de \sqrt7, on a : u'\left(x\right)=3x^2 et v'\left(x\right)=2x.
f=\dfrac uv, donc f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.
Ainsi, pour tout réel x différent de -\sqrt7 et de \sqrt7, on obtient :
\begin{aligned}\\f'\left(x\right)&=\dfrac{3x^2\left(x^2-7\right)-\left(x^3-1\right)2x}{\left(x^2-7\right)^2}&\\&=\dfrac{3x^4-21x^2-2x^4+2x}{\left(x^2-7\right)^2}&\\&=\dfrac{x^4-21x^2+2x}{\left(x^2-7\right)^2}&\\\end{aligned}
Pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\{-\sqrt7;\sqrt7\}, f'\left(x\right)=\dfrac{x^4-21x^2+2x}{\left(x^2-7\right)^2}
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac15\right\} par f\left(x\right)=\dfrac{x^2+2}{1-5x}.
Quelle est la valeur de f'(x) ?
On pose, pour tout réel x différent de \dfrac15, u\left(x\right)=x^2+2 et v\left(x\right)=1-5x.
u et v sont dérivables sur \mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac15\right\} et, pour tout réel x différent de \dfrac15, on a : u'\left(x\right)=2x et v'\left(x\right)=-5.
f=\dfrac uv, donc f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.
Ainsi, pour tout réel x différent de \dfrac15, on obtient :
\begin{aligned}\\f'\left(x\right)&=\dfrac{2x\left(1-5x\right)-\left(x^2+2\right)\left(-5\right)}{\left(1-5x\right)^2}&\\&=\dfrac{2x-10x^2+5x^2+10}{\left(1-5x\right)^2}&\\&=\dfrac{-5x^2+2x+10}{\left(1-5x\right)^2}&\\\end{aligned}
Pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac15\right\}, f'\left(x\right)=\dfrac{-5x^2+2x+10}{\left(1-5x\right)^2}
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac23;\dfrac23\right\} par f\left(x\right)=\dfrac{1+x}{9x^2-4}.
Quelle est la valeur de f'(x) ?
On pose, pour tout réel x différent de -\dfrac23 et de \dfrac23, u\left(x\right)=1+x et v\left(x\right)=9x^2-4.
u et v sont dérivables sur \mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac23;\dfrac23\right\} et, pour tout réel x différent de -\dfrac23 et de \dfrac23, on a : u'\left(x\right)=1 et v'\left(x\right)=18x.
f=\dfrac uv, donc f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.
Ainsi, pour tout réel x différent de -\dfrac23 et de \dfrac23, on obtient :
\begin{aligned}\\f'\left(x\right)&=\dfrac{9x^2-4-\left(1+x\right)18x}{\left(9x^2-4\right)^2}&\\&=\dfrac{9x^2-4-18x-18x^2}{\left(9x^2-4\right)^2}&\\&=\dfrac{-9x^2-18x-4}{\left(9x^2-4\right)^2}&\\\end{aligned}
Pour tout x\in\mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac23;\dfrac23\right\}, f'\left(x\right)=\dfrac{-9x^2-18x-4}{\left(9x^2-4\right)^2}
Soit la fonction f définie sur \mathbb{R} par f\left(x\right)=\dfrac{7x}{1+3x^2}.
Quelle est la valeur de f'(x) ?
On pose, pour tout réel x, u\left(x\right)=7x et v\left(x\right)=1+3x^2.
u et v sont dérivables sur \mathbb{R} et, pour tout réel x, on a : u'\left(x\right)=7 et v'\left(x\right)=6x.
f=\dfrac uv, donc f'=\dfrac{u'v-uv'}{v^2}.
Ainsi, pour tout réel x, on obtient :
\begin{aligned}\\f'\left(x\right)&=\dfrac{7\left(1+3x^2\right)-7x\times6x}{\left(1+3x^2\right)^2}&\\&=\dfrac{7+21x^2-42x^2}{\left(1+3x^2\right)^2}&\\&=\dfrac{-21x^2+7}{\left(1+3x^2\right)^2}&\\\end{aligned}
Pour tout x\in\mathbb{R}, f'\left(x\right)=\dfrac{-21x^2+7}{\left(1+3x^2\right)^2}