Déterminer une équation d'une tangente à la courbeMéthode

Grâce à la dérivée de f, il est facile de déterminer une équation de la tangente T à C_f, la courbe représentative de f, au point d'abscisse a.

Soit la fonction définie sur \mathbb{R} par :

\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) =x^3-3x^2+x-1

On appelle C_f sa courbe représentative.

Déterminer une équation de la tangente T à C_f au point d'abscisse x=1.

Etape 1

Rappeler la formule de l'équation de tangente

La tangente à C_f au point d'abscisse a admet pour équation :

y = f'\left(a\right)\left(x-a\right)+f\left(a\right)

La tangente à C_f au point d'abscisse 1 admet pour équation :

y = f'\left(1\right)\left(x-1\right)+f\left(1\right)

Etape 2

Calculer f\left(a\right)

À partir de l'expression de f, on calcule f\left(a\right).

f\left(1\right) = 1^3-3\times 1^2+1-1

Donc :

f\left(1\right) = -2

Etape 3

Calculer f'\left(a\right)

On calcule f'\left(x\right) si on ne connaît pas son expression.

À partir de l'expression de f', on calcule f'\left(a\right).

f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que fonction polynôme.

Donc :

\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right)=3x^2-6x+1

On en déduit la valeur de f'\left(1\right) :

f'\left(1\right)=3\times1^2-6\times1+1

f'\left(1\right)=-2

Etape 4

Appliquer la formule

On détermine finalement une équation de la tangente en remplaçant f\left(a\right) et f'\left(a\right) par leur valeur et on simplifie l'expression.

Une équation de T est :

y = -2\left(x-1\right)-2

y = -2x+2-2

Donc :

T:y = -2x