Retrouver une tangente particulièreMéthode

Méthode 1

Si l'on cherche une tangente passant par un point donné

Lorsque f est dérivable sur un intervalle I contenant le réel a, la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a admet pour équation : y= f'\left(a\right) \left(x-a\right) + f\left(a\right) .

Lorsque l'on recherche une tangente particulière, on recherche en réalité l'abscisse a du point en lequel la courbe admet la tangente.

En particulier, si on sait que la tangente passe par un point B\left(x_B;y_B\right), on peut en déduire la valeur de a.

On considère la fonction f définie par :

\forall x \in\mathbb{R}, f\left(x\right) = x^2

On appelle C_f sa courbe représentative.

Déterminer une équation des éventuelles tangentes à C_f passant par le point B\left(2;3\right).

Etape 1

Énoncer ce que signifie rechercher une tangente particulière

Rechercher une tangente passant par B\left(x_B;y_B\right) revient à rechercher l'abscisse a du point en lequel la droite est tangente à la courbe.

On cherche les éventuels points d'abscisse a tels que la tangente T_a passe par le point B\left(2;3\right).

Etape 2

Mettre le problème en équation

La tangente T_a admet pour équation :

y = f'\left(a\right) \left(x-a\right)+f\left(a\right)

Comme la tangente passe par le point B\left(x_B;y_B\right), les coordonnées de B vérifient l'équation de la tangente. On a donc :

y_B = f'\left(a\right) \left(x_B-a\right)+f\left(a\right)

La tangente T_a admet pour équation :

y = f'\left(a\right) \left(x-a\right)+f\left(a\right)

Comme la tangente passe par le point B\left(2;3\right), les coordonnées de B vérifient l'équation de la tangente. On a donc :

3 = f'\left(a\right)\left(2-a\right)+f\left(a\right)

Etape 3

Calculer f'\left(x\right)

Si on ne connaît pas l'expression de la dérivée de f, on justifie la dérivabilité de f puis on calcule f'\left(x\right).

f étant une fonction polynôme, elle est dérivable sur \mathbb{R} et on a :

\forall x\in \mathbb{R}, f'\left(x\right) = 2x

Etape 4

Résoudre l'équation

On exprime f\left(a\right) et f'\left(a\right) en fonction de a.

Puis on résout l'équation obtenue en sachant que a est l'inconnue.

Cette équation peut avoir 0, 1 ou plusieurs solution(s) !

On en déduit que :

  • f\left(a\right)= a^2
  • f'\left(a\right)= 2a

On doit ainsi résoudre :

3 = 2a\left(2-a\right)+a^2

\Leftrightarrow4a-2a^2+a^2-3=0

\Leftrightarrow-a^2+ 4a-3=0

L'équation obtenue est un trinôme du second degré. Afin de déterminer ses racines, on calcule le discriminant \Delta :

\Delta = 4^2 -4 \left(-1\right)\left(-3\right)

\Delta = 4

\Delta \gt 0 donc le trinôme possède deux racines :

  • a_1 = \dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a}= \dfrac{-4-\sqrt{4}}{-2} = 3
  • a_2 = \dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}= \dfrac{-4+\sqrt{4}}{-2} = 1
Etape 5

Conclure en donnant des équations des tangentes recherchées

On conclut sur l'existence de la tangente recherchée.

Elle admet pour équation : y = f'\left(a\right) \left(x-a\right) +f\left(a\right).

L'équation obtenue a deux solutions.

On en déduit qu'il existe deux tangentes à C_f passant par B\left(2;3\right), celles aux points d'abscisses 1 et 3.

On détermine une équation de chacune des deux tangentes :

T_1:y= f'\left(1\right) \left(x-1\right) +f\left(1\right)

Soit :

T_1:y=2x-1

Et :

T_3:y= f'\left(3\right) \left(x-3\right) +f\left(3\right)

Soit :

T_3:y =6x-9

Méthode 2

Si l'on cherche une tangente de coefficient directeur donné

Lorsque f est dérivable sur un intervalle I contenant le réel a, la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a admet pour équation : y= f'\left(a\right) \left(x-a\right) + f\left(a\right) .

Lorsque l'on recherche une tangente particulière, on recherche en réalité l'abscisse a du point en lequel la courbe admet la tangente.

En particulier, si on connaît le coefficient directeur de la tangente, on peut en déduire la valeur de a.

On considère la fonction f définie par :

\forall x \in\mathbb{R}, f\left(x\right) =4 x^2 -8x+1

On appelle C_f sa courbe représentative..

Déterminer une équation des éventuelles tangentes à C_f de coefficient directeur égal à 4.

Etape 1

Énoncer ce que signifie rechercher une tangente particulière

Rechercher une tangente de coefficient directeur donné revient à rechercher l'abscisse a du point en lequel la droite est tangente à la courbe.

On cherche les éventuels points d'abscisse a tels que la tangente T_a ait un coefficient directeur égal à 4.

Etape 2

Mettre le problème en équation

On sait que le coefficient directeur d'une tangente à la courbe représentative de la fonction au point d'abscisse a est égal au nombre dérivé en a lorsque f est dérivable en a.

Donc la tangente T_a a un coefficient directeur égal à b si et seulement si :

f'\left(a\right) = b

Comme fonction polynôme, f est dérivable sur \mathbb{R}, et donc en a pour tout réel a. Le coefficient directeur de la tangente à la courbe représentative au point d'abscisse a est égal à f'\left(a\right).

Ainsi, la tangente T_a a un coefficient directeur égal à 4 si et seulement si :

f'\left(a\right) = 4

Etape 3

Calculer f'\left(x\right)

Si on ne connaît pas son expression, on justifie que f est dérivable sur I et on calcule f'\left(x\right) .

f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que polynôme.

\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) =4 x^2 -8x+1

Soit :

\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right)= 8x-8

Etape 4

Résoudre l'équation

On exprime la dérivée f'\left(x\right) en fonction de a.

Puis on résout l'équation f'\left(a\right) = b.

L'équation devient :

8a-8 = 4

8a = 12

Soit :

a = \dfrac{3}{2}

Etape 5

Conclure

On conclut sur l'existence de la tangente recherchée.

Elle admet pour équation :

y = f'\left(a\right) \left(x-a\right) +f\left(a\right) ou y = b \left(x-a\right) +f\left(a\right)

Il existe donc une tangente à C_f de coefficient directeur égal à 4, il s'agit de la tangente au point d'abscisse \dfrac{3}{2}.

Elle admet pour équation :

y = 4\left(x-\dfrac{3}{2}\right) +f\left(\dfrac{3}{2}\right)

y = 4x-6 +4\left(\dfrac{3}{2}\right)^2 -8\left(\dfrac{3}{2}\right) +1

Finalement :

T_{\frac{3}{2}} :y = 4x-8

Méthode 3

Si l'on cherche une tangente parallèle à une droite

Lorsque f est dérivable sur un intervalle I contenant le réel a, la tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a admet pour équation : y= f'\left(a\right) \left(x-a\right) + f\left(a\right) .

Lorsque l'on recherche une tangente particulière, on recherche en réalité l'abscisse a du point en lequel la courbe admet la tangente.

En particulier, si on connaît l'équation d'une droite parallèle à la tangente, on peut en déduire la valeur de a.

On considère la fonction f définie par :

f\left(x\right) =-2 x^2 +4x+3

On appelle C_f sa courbe représentative.

Déterminer les éventuelles tangentes à C_f parallèles à la droite d'équation y = 6x-2.

Etape 1

Énoncer ce que signifie rechercher une tangente particulière

Rechercher une tangente parallèle à une droite donnée revient à rechercher l'abscisse a du point en lequel la droite est tangente à la courbe et parallèle à la droite donnée.

On cherche les éventuels points d'abscisse a tels que la tangente T_a soit parallèle à la droite y = 6x-2.

Etape 2

Rappeler la condition pour que deux droites soient parallèles

Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur.

Il faut donc ici que la tangente T_a ait pour coefficient directeur b.

Deux droites sont parallèles si et seulement si elles ont le même coefficient directeur. Ici, on cherche donc les éventuels points d'abscisse a tels que la tangente T_a ait un coefficient directeur égal à 6.

Etape 3

Mettre le problème en équation

On sait que le coefficient directeur d'une tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a est égal au nombre dérivé en a lorsque f est dérivable en a.

Donc la tangente T_a a un coefficient directeur égal à b si et seulement si :

f'\left(a\right) = b

Comme fonction polynôme, f est dérivable sur \mathbb{R}, et donc en a pour tout réel a. Le coefficient directeur d'une tangente à la courbe représentative de f au point d'abscisse a est égal à f'\left(a\right).

Ainsi, la tangente T_a a un coefficient directeur égal à 6 si et seulement si :

f'\left(a\right) = 6

Etape 4

Calculer f'\left(x\right)

Si on ne connaît pas son expression, on justifie que f est dérivable sur I et on calcule f'\left(x\right) .

f est dérivable sur \mathbb{R} en tant que polynôme et :

\forall x \in \mathbb{R}, f\left(x\right) =-2x^2 +4x+3

Ainsi :

\forall x \in \mathbb{R}, f'\left(x\right)= -4x+4

Etape 5

Résoudre l'équation

On exprime la dérivée f'\left(x\right) en fonction de a.

Puis on résout l'équation f'\left(a\right) = b.

L'équation devient :

-4a+4=6

-4a = 2

Soit :

a = -\dfrac{1}{2}

Etape 6

Conclure

On conclut sur l'existence de la tangente recherchée.

Elle admet pour équation :

y = f'\left(a\right) \left(x-a\right) +f\left(a\right) ou y = b \left(x-a\right) +f\left(a\right)

Il existe donc une tangente à Cf de coefficient directeur égal à 6, il s'agit de la tangente au point d'abscisse -\dfrac{1}{2}.

Elle admet pour équation :

y = 6\left(x+\dfrac{1}{2}\right) +f\left(-\dfrac{1}{2}\right)

y = 6x+3 -2\left(-\dfrac{1}{2}\right)^2 +4\left(-\dfrac{1}{2}\right) +3

Finalement :

T :y = 6x+3{,}5

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