Dériver une fonction composée de la fonction inverse Exercice

On pose, pour tout réel x, u\left(x\right)=2x+5.

u est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x, on a u'\left(x\right)=2

Or f est définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac52\right\} par f=\dfrac{1}{u^2}. On a donc f'=\dfrac{-2u'}{u^3}.

Ainsi, pour tout réel x de \mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac52\right\} :

f'\left(x\right)=-\dfrac{2\times 2}{\left(2x+5\right)^3}=-\dfrac{4}{\left(2x+5\right)^3}

On pose, pour tout réel x, u\left(x\right)=4x-3.

u est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x, on a u'\left(x\right)=4

Or f est définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac34\right\} par f=\dfrac{1}{u^4}=u^{-4}.

La fonction u ne s'annulant pas sur \mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac34\right\}, la fonction f est dérivable sur tout intervalle inclus dans \mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac34\right\}.

On a donc f'=-4u'\times u^{-5}=\dfrac{-4u'}{u^5}.

Ainsi, pour tout réel x de \mathbb{R}\backslash\left\{\dfrac34\right\} :

f'\left(x\right)=-\dfrac{4\times 4}{\left(4x-3\right)^5}=-\dfrac{16}{\left(4x-3\right)^5}

On pose, pour tout réel x, u\left(x\right)=x^2-x-6.

u est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x, on a u'\left(x\right)=2x-1

Or f est définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{-2;3\right\} par f=\dfrac{3}{u^5}. On a donc f'=\dfrac{-15u'}{u^6}.

Ainsi, pour tout réel x de \mathbb{R}\backslash\left\{-2;3\right\} :

f'\left(x\right)=-\dfrac{15\left(2x-1\right)}{\left(x^2-x-6\right)^6}

On pose, pour tout réel x, u\left(x\right)=x^2-25.

u est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x, on a u'\left(x\right)=2x

Or f est définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{-5;5\right\} par f=-\dfrac{4}{u^8}. On a donc f'=\dfrac{32u'}{u^9}.

Ainsi, pour tout réel x de \mathbb{R}\backslash\left\{-5;5\right\} :

f'\left(x\right)=\dfrac{32\times 2x}{\left(x^2-25\right)^9}=\dfrac{64x}{\left(x^2-25\right)^9}

On pose, pour tout réel x, u\left(x\right)=7x+2.

u est dérivable sur \mathbb{R} et pour tout réel x, on a u'\left(x\right)=7

Or f est définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac27\right\} par f=-\dfrac{11}{u}. On a donc f'=\dfrac{11u'}{u^2}.

Ainsi, pour tout réel x de \mathbb{R}\backslash\left\{-\dfrac27\right\} :

f'\left(x\right)=\dfrac{11\times7}{\left(7x+2\right)^2}=\dfrac{77}{\left(7x+2\right)^2}

On pose, pour tout réel x, u\left(x\right)=\left(x-2\right)\left(2x-9\right).

u est de la forme gh, avec g\left(x\right)=x-2 et h\left(x\right)=2x-9 dérivables sur \mathbb{R} et pour tout réel x, on a g'\left(x\right)=1 et h'\left(x\right)=2.

Ainsi, u est dérivable sur \mathbb{R}, et u'\left(x\right)=1\left(2x-9\right)+\left(x-2\right)\times2=2x-9+2x-4=4x-13

Or f est définie sur \mathbb{R}\backslash\left\{2;\dfrac92\right\} par f=\dfrac{5}{u}. On a donc f'=-\dfrac{5u'}{u^2}.

Ainsi, pour tout réel x de \mathbb{R}\backslash\left\{2;\dfrac92\right\} :

f'\left(x\right)=-\dfrac{5\left(4x-13\right)}{\left(\left(x-2\right)\left(2x-9\right)\right)^2}=-\dfrac{20x-65}{\left(x-2\right)^2\left(2x-9\right)^2}

On pose, pour tout réel x de l'intervalle \left[-\dfrac23;+\infty\right[, u\left(x\right)=\sqrt{3x+2}.

u est de la forme \sqrt g, avec g\left(x\right)=3x+2, dérivable sur \mathbb{R} et on a g'\left(x\right)=3.

Ainsi, u est dérivable sur \left]-\dfrac23;+\infty\right[, et u'\left(x\right)=\dfrac{3}{2\sqrt{3x+2}}

Or f est définie sur \left]-\dfrac23;+\infty\right[ par f=\dfrac{3}{u}. On a donc f'=-\dfrac{3u'}{u^2}.

Ainsi, pour tout réel x de \left]-\dfrac23;+\infty\right[ :

f'\left(x\right)=-\dfrac{3\times\dfrac{3}{2\sqrt{3x+2}}}{\left(\sqrt{3x+2}\right)^2}=-\dfrac{9}{2\sqrt{3x+2}\left(3x+2\right)}