Résoudre une équation
Les équations de la forme ax = b
Equation de la forme ax=b
Soient a et b deux nombres connus, avec a différent de 0.
L'équation ax = b, d'inconnue x, admet une unique solution :
x =\dfrac{b}{a}
L'équation 7x=15 admet pour unique solution x=\dfrac{15}{7}.
8x+6=-5x+26
8x+5x=26-6
13x=20
x=\dfrac{20}{13}
La solution de l'équation est \dfrac{20}{13}.
Les transformations suivantes permettent d'aboutir à la forme souhaitée sans altérer les solutions de l'équation :
- Développer
- Réduire
- Factoriser
- Ajouter ou soustraire une même expression à droite et à gauche
- Multiplier ou diviser à droite et à gauche par un même nombre non nul
Soit l'équation suivante :
-3\left(2x-6\right)+12=-6-4\left(x+1\right)
On développe chaque membre :
-6x+18+12=-6-4x-4
On regroupe les termes contenant x dans le membre de gauche et les termes constants dans le membre de droite. Pour cela, dans chaque membre, on effectue les opérations suivantes : on ajoute 4x, on soustrait 18 et 12. On obtient ainsi :
-6x+4x=-6-4-18-12
On réduit chaque membre.
-2x=-40
On divise chaque membre par -2.
x=\dfrac{-40}{-2}
x=20
La solution de l'équation est 20.
Produit de facteurs égal à zéro
Produit de facteurs égal à zéro
Un produit de facteurs est nul si au moins un des facteurs est nul.
Considérons l'équation suivante :
\left(2x-1\right)\left(x+5\right)=0.
Un produit de facteurs est nul si et seulement si l'un des facteurs au moins est nul. Ainsi on a :
2x-1=0 ou x+5=0.
C'est-à-dire :
x=\dfrac12 ou x=-5.
Conclusion :
Les solutions de l'équation sont \dfrac12 et -5.
On veut résoudre l'équation :
\left(x + 1\right)^{2} - 4 = 0
\left(x + 1\right)^{2} - 2^{2} = 0
On factorise le membre de gauche à l'aide de l'identité remarquable a^{2} - b^{2} = \left(a + b\right) \left(a - b\right) :
\left(x + 1 + 2\right) \left(x + 1 - 2\right) = 0
\left(x + 3\right) \left(x - 1\right) = 0
Le membre de gauche est nul si :
x + 3 = 0 ou x - 1 = 0
C'est-à-dire si :
x = - 3 ou x = 1
Les solutions de l'équation sont donc : -3 et 1.
Les équations de la forme x^{2} = a
Equation de la forme x^2=a
Soit a un nombre connu.
L'équation x^{2} = a , d'inconnue x, admet :
- deux solutions si a \gt 0 : \sqrt{a} et - \sqrt{a}
- une solution si a = 0 : 0
- aucune solution si a \lt 0.
L'équation x^2=81 a pour solutions x=\sqrt{81}=9 et x=-\sqrt{81}=-9.
L'équation x^2=-12 n'a pas de solution car -12 < 0.
Il est possible, lorsque a\geq0, de ramener l'équation x^2=a à une équation mise sous la forme de produit égal à 0.
On considère l'équation :
x^2=81
On soustrait 81 à chaque membre :
x^2-81=0
x^2-9^2=0
On factorise le membre de gauche en utilisant l'identité remarquable a^{2} - b^{2} = \left(a - b\right) \left(a + b\right) :
\left(x-9\right)\left(x+9\right)=0
Un produit est nul si au moins un de ses facteurs est nul, donc :
x-9=0 ou x+9=0
Ainsi :
x=9 ou x=-9
Les solutions de l'équation sont donc : 9 et -9.
Résoudre une inéquation
Résolution et intervalles solutions
Intervalle solution
Soient a et b deux nombres connus, avec a différent de 0.
Les inéquations du premier degré ax \gt b, ax \geq b, ax \lt b, ax \leq b, d'inconnue x, admettent une infinité de solutions. On parle d'intervalle solution.
Considérons l'inéquation 3x\gt8. Tous les nombres strictement supérieurs à \dfrac83 sont solutions.
Afin d'obtenir la forme souhaitée sans altérer les solutions de l'inéquation, on utilise les mêmes transformations que pour les équations. Le sens de l'inéquation n'est pas modifié dans les cas suivants :
- Si on développe, on factorise ou on réduit une expression.
- Si on ajoute, ou soustrait, un même nombre à chaque membre de l'inégalité.
- Si on multiplie, ou divise, par un même nombre positif, non nul, chaque membre de l'inégalité.
On souhaite résoudre, l'inéquation :
4\left(3x+3\right)\leq2\left(8+x\right)
On développe chaque membre :
12x+12\leq16+2x
On regroupe les termes contenant x dans le membre de gauche et les termes constants dans le membre de droite. Pour cela, dans chaque membre, on effectue les opérations suivantes : on soustrait 12 et 2x. On obtient ainsi :
12x-2x\leq16-12
On réduit chaque membre :
10x\leq4
On divise chaque membre par 10, qui est positif. Le sens de l'inégalité n'est pas modifié :
x\leq\dfrac{4}{10}
On simplifie la fraction :
x\leq\dfrac{2}{5}
Les solutions de l'inéquation sont tous les nombres inférieurs ou égaux à \dfrac25.
- Lorsque l'on soustrait un nombre à chaque membre d'une inéquation, cela revient à ajouter l'opposé. Donc on ne change pas le sens de l'inégalité.
- Lorsque l'on divise par un nombre positif, non nul, chaque membre d'une inéquation, cela revient à multiplier par l'inverse, positif. Donc on ne change pas le sens de l'inégalité.
Considérons l'inéquation :
8x+13\gt37
On soustrait 13 à chaque membre :
8x+13\textcolor{Red}{-13}\gt37\textcolor{Red}{-13}
Ce qui équivaut à :
8x+13\textcolor{Red}{+\left(-13\right)}\gt37\textcolor{Red}{+\left(-13\right)}
On réduit :
8x\gt24
On divise chaque membre par 8, qui est positif :
\dfrac{8x}{\textcolor{Blue}{8}}\gt\dfrac{24}{\textcolor{Blue}{8}}
Ce qui équivaut à :
8x\textcolor{Blue}{\times\dfrac18\gt}24\textcolor{Blue}{\times\dfrac18}
On réduit chaque membre :
x\gt3
Les solutions de l'inéquation sont donc tous les nombres strictement supérieurs à 3.
Dans le cas de la multiplication ou de la division des deux membres de l'inéquation par un même nombre négatif non nul, le signe de l'inégalité change de sens :
- \lt devient \gt, et inversement ;
- \leq devient \geq, et inversement.
On veut résoudre l'inéquation : - 2x + 1 \lt 5
On isole le terme en x à gauche et les nombres connus à droite :
- 2x \lt 5 - 1
On réduit le membre de droite :
- 2x \lt 4
On divise les deux membres par - 2, en changeant le sens de l'inégalité :
x \gt -\dfrac{4}{2}
On obtient finalement :
x \gt - 2
Les solutions de cette inéquation sont donc tous les nombres strictement plus grand que -2.
Représentation graphique des solutions sur un axe
Soit a un nombre connu.
On peut représenter un intervalle solution sur un axe gradué :
- On utilise un crochet orienté vers l'intérieur pour signifier que le nombre a est inclus dans les solutions.
- On utilise un crochet orienté vers l'extérieur pour signifier que le nombre a est exclu des solutions.
Ici, l'intervalle solution est en bleu.
x \geq a
x \gt a
x \leq a
x \lt a
