Soit un triangle ABC rectangle en A, tel que AB = 5 cm et l'écart entre les deux autres côtés est de 3 cm.
Quelle proposition démontre l'existence de ce triangle et la longueur de ses côtés ?
Le triangle ABC est rectangle en A. On appellera x la longueur de l'hypoténuse BC de ce triangle.
On aura donc :
- AB = 5 cm
- BC = x cm
- AC = \left(x - 3\right) cm
On applique le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A. Soit :
BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}
x^{2}=5^{2}+\left(x-3\right)^{2}
x^{2}=25+x^{2}-6x+9
On isole les termes x et x^2 dans le membre de gauche de l'équation :
x^{2}-x^{2}+6x=25+9
6x=34
On divise les deux membres de l'équation par 6 :
x=\dfrac{34}{6}
x=\dfrac{17}{3}
On a donc :
- BC=\dfrac{17}{3} cm
- AC=\dfrac{17}{3}-3=\dfrac{17}{3}-\dfrac{9}{3}=\dfrac{8}{3} cm
Le triangle ABC rectangle en A existe, avec AB = 5 cm, BC=\dfrac{17}{3} cm et AC=\dfrac{8}{3} cm.
Soit un triangle ABC rectangle en A, tel que AB = 8 cm et l'écart entre les deux autres côtés est de 4 cm.
Quelle proposition démontre l'existence de ce triangle et la longueur de ses côtés ?
Le triangle ABC est rectangle en A. On appellera x la longueur de l'hypoténuse BC de ce triangle.
On aura donc :
- AB = 8 cm
- BC = x cm
- AC = \left(x - 4\right) cm
On applique le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A. Soit :
BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}
x^{2}=8^{2}+\left(x-4\right)^{2}
x^{2}=64+x^{2}-8x+16
On isole les termes x et x^2 dans le membre de gauche de l'équation :
x^{2}-x^{2}+8x=64+16
8x=80
On divise les deux membres de l'équation par 8 :
x=\dfrac{80}{8}
x=10
On a donc :
- BC=10 cm
- AC=10-4=6 cm
Le triangle ABC rectangle en A existe, avec AB = 8 cm, BC=10 cm et AC=6 cm.
Soit un triangle ABC rectangle en A, tel que AB = 6 cm et l'écart entre les deux autres côtés est de 3 cm.
Quelle proposition démontre l'existence de ce triangle et la longueur de ses côtés ?
Le triangle ABC est rectangle en A. On appellera x la longueur de l'hypoténuse BC de ce triangle.
On aura donc :
- AB = 6 cm
- BC = x cm
- AC = \left(x - 3\right) cm
On applique le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A. Soit :
BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}
x^{2}=6^{2}+\left(x-3\right)^{2}
x^{2}=36+x^{2}-6x+9
On isole les termes x et x^2 dans le membre de gauche de l'équation :
x^{2}-x^{2}+6x=36+9
6x=45
On divise les deux membres de l'équation par 6 :
x=\dfrac{45}{6}
x=\dfrac{15}{2}
On a donc :
- BC=\dfrac{15}{2} cm
- AC=\dfrac{15}{2}-3=\dfrac{15}{2}-\dfrac{6}{2}=\dfrac{9}{2} cm
Le triangle ABC rectangle en A existe, avec AB = 6 cm, BC=\dfrac{15}{2} cm et AC=\dfrac{9}{2} cm.
Soit un triangle ABC rectangle en A, tel que AB = 9 cm et l'écart entre les deux autres côtés est de 3 cm.
Quelle proposition démontre l'existence de ce triangle et la longueur de ses côtés ?
Le triangle ABC est rectangle en A. On appellera x la longueur de l'hypoténuse BC de ce triangle.
On aura donc :
- AB = 9 cm
- BC = x cm
- A C = \left(x - 3\right) cm
On applique le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A. Soit :
BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}
x^{2}=9^{2}+\left(x-3\right)^{2}
x^{2}=81+x^{2}-6x+9
On isole les termes x et x^2 dans le membre de gauche de l'équation :
x^{2}-x^{2}+6x=81+9
6x=90
On divise les deux membres de l'équation par 6 :
x=\dfrac{90}{6}
x=15
On a donc :
- BC=15 cm
- AC=15-3=12 cm
Le triangle ABC rectangle en A existe, avec AB = 9 cm, BC=15 cm et AC=12 cm.
Soit un triangle ABC rectangle en A, tel que AB = 7 cm et l'écart entre les deux autres côtés est de 5 cm.
Quelle proposition démontre l'existence de ce triangle et la longueur de ses côtés ?
Le triangle ABC est rectangle en A. On appellera x la longueur de l'hypoténuse BC de ce triangle.
On aura donc :
- AB = 7 cm
- BC = x cm
- AC = \left(x - 5\right) cm
On applique le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A. Soit :
BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}
x^{2}=7^{2}+\left(x-5\right)^{2}
x^{2}=49+x^{2}-10x+25
On isole les termes x et x^2 dans le membre de gauche de l'équation :
x^{2}-x^{2}+10x=49+25
10x=74
On divise les deux membres de l'équation par 10 :
x=\dfrac{74}{10}
x=7{,}4
On a donc :
- BC=7{,}4 cm
- AC=7{,}4-5=2{,}4 cm
Le triangle ABC rectangle en A existe, avec AB = 7 cm, BC=7{,}4 cm et AC=2{,}4 cm.
Soit un triangle ABC rectangle en A, tel que AB = 10 cm et l'écart entre les deux autres côtés est de 1 cm.
Quelle proposition démontre l'existence de ce triangle et la longueur de ses côtés ?
Le triangle ABC est rectangle en A. On appellera x la longueur de l'hypoténuse BC de ce triangle.
On aura donc :
- AB = 10 cm
- BC = x cm
- AC = \left(x - 1\right) cm
On applique le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A. Soit :
BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}
x^{2}=10^{2}+\left(x-1\right)^{2}
x^{2}=100+x^{2}-2x+1
On isole les termes x et x^2 dans le membre de gauche de l'équation :
x^{2}-x^{2}+2x=100+1
2x=101
On divise les deux membres de l'équation par 2 :
x=\dfrac{101}{2}
x=50{,}5
On a donc :
- BC=50{,}5 cm
- AC=50{,}5-1=49{,}5 cm
Le triangle ABC rectangle en A existe, avec AB = 10 cm, BC=50{,}5 cm et AC=49{,}5 cm.
Soit un triangle ABC rectangle en A, tel que AB = 1 cm et l'écart entre les deux autres côtés est de 7 cm.
Quelle proposition démontre l'existence de ce triangle et la longueur de ses côtés ?
Le triangle ABC est rectangle en A. On appellera x la longueur de l'hypoténuse BC de ce triangle.
On aura donc :
- AB = 1 cm
- BC = x cm
- AC = \left(x - 7\right) cm
On applique le théorème de Pythagore dans le triangle ABC rectangle en A. Soit :
BC^{2}=AB^{2}+AC^{2}
x^{2}=1^{2}+\left(x-7\right)^{2}
x^{2}=1+x^{2}-14x+49
On isole les termes x et x^2 dans le membre de gauche de l'équation :
x^{2}-x^{2}+14x=1+49
14x=50
On divise les deux membres de l'équation par 14 :
x=\dfrac{50}{14}
x=\dfrac{25}{7}
On a donc :
- BC=\dfrac{25}{7} cm
- AC=\dfrac{25}{7}-7=\dfrac{25}{7}-\dfrac{49}{7}=-\dfrac{24}{7} cm
La mesure d'un côté ne pouvant pas être négative, on peut en conclure que le triangle ABC n'est pas constructible.
Le triangle ABC rectangle en A n'est pas constructible.