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Les fonctions de référence

I

Les fonctions affines

A

Définition

Fonction affine

Une fonction f est dite affine si elle est définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) et si elle admet une expression du type :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = ax + b}\)

a et b sont des réels quelconques.

La fonction définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=2x+5}\) est une fonction affine.

B

Le sens de variation

On considère une fonction f affine d'expression \(\displaystyle{f\left(x\right)=ax+b}\).

Cas 1

Si \(\displaystyle{a \gt 0}\), \(\displaystyle{f}\) est strictement croissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)

-
Cas 2

Si \(\displaystyle{a \lt 0}\), \(\displaystyle{f}\) est strictement décroissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\)

-

La fonction affine définie par \(\displaystyle{f\left(x\right)=7x-1}\) est une fonction croissante car \(\displaystyle{a=7\gt0}\).

La fonction affine définie par \(\displaystyle{f\left(x\right)=-3x+4}\) est une fonction décroissante car \(\displaystyle{a=-3\lt0}\).

C

La courbe représentative

La courbe représentative de la fonction affine f, d'expression \(\displaystyle{f\left(x\right)=ax+b}\), est la droite d'équation \(\displaystyle{y = ax + b}\).

  • Si \(\displaystyle{a = 0}\), la fonction est constante égale à \(\displaystyle{b}\), et sa droite représentative est parallèle à l'axe des abscisses.
  • Si \(\displaystyle{b = 0}\), la fonction est dite linéaire, et sa droite représentative passe par l'origine du repère.

On considère une fonction f affine d'expression \(\displaystyle{f\left(x\right)=ax+b}\).

Cas 1

Si \(\displaystyle{a \gt 0}\)

-

La fonction représentée ci-dessus est la fonction affine définie pour tout réel x par : \(\displaystyle{f\left(x\right)=x+1}\)

Cas 2

Si \(\displaystyle{a \lt 0}\)

-

La fonction représentée ci-dessus est la fonction affine définie pour tout réel x par : \(\displaystyle{f\left(x\right)=-x+1}\)

Cas 3

Si \(\displaystyle{a = 0}\)

-

La fonction représentée ci-dessus est la fonction affine définie pour tout réel x par : \(\displaystyle{f\left(x\right)=3}\)

II

La fonction carré

A

Définition

Fonction carré

La fonction carré \(\displaystyle{f}\) est définie pour tout réel x par :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = x^{2}}\)

B

Le sens de variation

La fonction carré est :

  • Décroissante sur \(\displaystyle{\left] -\infty;0 \right]}\)
  • Croissante sur \(\displaystyle{\left[ 0;+\infty \right[}\)

Son tableau de variations est le suivant :

-
C

La courbe représentative

La courbe représentative de la fonction carré est une parabole dont le sommet est l'origine O du repère.

-
III

La fonction racine carrée

A

Définition

Fonction racine carrée

La fonction racine carrée \(\displaystyle{f}\) est définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^{+}}\) par :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = \sqrt{x}}\)

B

Le sens de variation

La fonction racine carrée est croissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^+}\). Son tableau de variations est le suivant :

-

Soient deux réels positifs \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) tels que \(\displaystyle{0\leq a\lt b}\). Comparons alors \(\displaystyle{\sqrt{a}}\) et \(\displaystyle{\sqrt{b}}\).

\(\displaystyle{\sqrt{a}-\sqrt{b}=\dfrac{\left( \sqrt{a}-\sqrt{b} \right)\left( \sqrt{a}+\sqrt{b} \right)}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{\left( \sqrt{a} \right)^2-\left( \sqrt{b} \right)^2}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}=\dfrac{a-b}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}}\)

Pour tout \(\displaystyle{a}\) et \(\displaystyle{b}\) tels que \(\displaystyle{0\leq a\lt b}\), on a \(\displaystyle{\sqrt{a}+\sqrt{b}\gt0}\) et \(\displaystyle{a-b\lt0}\).

Par conséquent \(\displaystyle{\sqrt{a}-\sqrt{b}\lt0\Leftrightarrow\sqrt{a}\lt\sqrt{b}}\).

La fonction racine carrée est donc croissante sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^+}\).

C

La courbe représentative

La courbe représentative de la fonction racine carrée est la suivante :

-
D

Croissances comparées

Sur \(\displaystyle{\left[ 1,+\infty \right[}\), la fonction carré croît plus vite que la fonction identité (\(\displaystyle{f\left(x\right)=x}\)), qui, elle-même, croît plus vite que la fonction racine carrée.

Sur \(\displaystyle{\left[ 0,1 \right[}\), la fonction racine carrée croît plus vite que la fonction identité (\(\displaystyle{f\left(x\right)=x}\)), qui, elle-même, croît plus vite que la fonction carré.

-
IV

La fonction inverse

A

Définition

Fonction inverse

La fonction inverse \(\displaystyle{f}\) est définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}^{*}}\) par :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = \dfrac{1}{x}}\)

B

Le sens de variation

La fonction inverse est décroissante sur \(\displaystyle{\left] -\infty;0 \right[}\) et sur \(\displaystyle{\left] 0;+\infty \right[}\). Son tableau de variations est le suivant :

-
C

La courbe représentative

La courbe représentative de la fonction inverse est une hyperbole dont le centre est l'origine O du repère.

-
V

La fonction valeur absolue

A

Définition

Fonction valeur absolue

La fonction valeur absolue \(\displaystyle{f}\) est définie sur \(\displaystyle{\mathbb{R}}\) par :

\(\displaystyle{f\left(x\right) = |x|}\)

où :

  • \(\displaystyle{|x| = x}\) si \(\displaystyle{x \geq 0}\)
  • \(\displaystyle{|x| = - x}\) si \(\displaystyle{x \lt 0}\)

Valeur absolue et distance

Soit \(\displaystyle{a}\) un réel fixé. Pour tout réel \(\displaystyle{x}\), la distance \(\displaystyle{d}\) entre \(\displaystyle{x}\) et \(\displaystyle{a}\) est la valeur absolue de la différence de \(\displaystyle{x}\) et \(\displaystyle{a}\).

\(\displaystyle{d=\left| x-a \right|}\)

-

Résoudre une inéquation de la forme : \(\displaystyle{\left| x-a \right|\leq b}\) (\(\displaystyle{b\gt0}\)) revient à trouver les valeurs de \(\displaystyle{x}\) telles que la distance entre \(\displaystyle{x}\) et \(\displaystyle{a}\) soit inférieure ou égale à \(\displaystyle{b}\).

\(\displaystyle{\left| x -6\right|\leq 5}\) équivaut à \(\displaystyle{x\in \left[ 1;11 \right]}\).

En effet, quelle que soit la valeur de \(\displaystyle{x\in \left[ 1;11 \right]}\), la distance entre \(\displaystyle{x}\) et 6 est inférieure ou égale à 5.

-
B

Le sens de variation

La fonction valeur absolue est décroissante sur \(\displaystyle{\left] -\infty;0 \right]}\) et croissante sur \(\displaystyle{\left[ 0;+\infty\right[}\). Son tableau de variations est le suivant :

-
C

La courbe représentative

La courbe représentative de la fonction valeur absolue est la suivante :

-
VI

Opérations sur les fonctions et variations

Sens de variation de \(\displaystyle{f+g}\)

Si deux fonctions \(\displaystyle{f}\) et \(\displaystyle{g}\) ont le même sens de variation sur l'intervalle \(\displaystyle{I}\), la fonction \(\displaystyle{f + g}\) possède également le même sens de variation sur \(\displaystyle{I}\).

Soit f et g deux fonctions définies sur \(\displaystyle{\left[ 0;+\infty \right[}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=x^2}\) et \(\displaystyle{g\left(x\right)=5x+1}\). Ces deux fonctions sont croissantes sur \(\displaystyle{\left[ 0;+\infty \right[}\).

La fonction h définie sur \(\displaystyle{\left[ 0;+\infty \right[}\) par \(\displaystyle{h\left(x\right)=x^2+5x+1}\) est la somme des fonctions \(\displaystyle{f}\) et \(\displaystyle{g}\).

La fonction \(\displaystyle{h}\) est donc croissante sur \(\displaystyle{\left[ 0;+\infty \right[}\).

Sens de variation de \(\displaystyle{kf}\) avec \(\displaystyle{k\gt0}\)

Soit \(\displaystyle{k}\) un réel strictement positif.
La fonction \(\displaystyle{kf}\) possède le même sens de variation que la fonction \(\displaystyle{f}\) sur l'intervalle \(\displaystyle{I}\).

Soit f la fonction définie sur \(\displaystyle{\left[ 0;+\infty \right[}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=x^2}\). Cette fonction est croissante sur \(\displaystyle{\left[ 0;+\infty \right[}\).

La fonction h définie sur \(\displaystyle{\left[ 0;+\infty \right[}\) par \(\displaystyle{h\left(x\right)=7x^2}\) est le produit de la fonction f par 7 qui est positif.

La fonction \(\displaystyle{h}\) a donc le même sens de variation que \(\displaystyle{f}\) donc \(\displaystyle{h}\) est croissante sur \(\displaystyle{\left[ 0;+\infty \right[}\).

Sens de variation de \(\displaystyle{kf}\) avec \(\displaystyle{k\lt0}\)

Soit \(\displaystyle{k}\) un réel strictement négatif.
La fonction \(\displaystyle{kf}\) possède le sens de variation contraire à celui de la fonction \(\displaystyle{f}\) sur l'intervalle \(\displaystyle{I}\).

Soit f la fonction définie sur \(\displaystyle{\left] 0;+\infty \right[}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=\dfrac1x}\). f est décroissante sur \(\displaystyle{\left] 0;+\infty \right[}\).

La fonction h définie sur \(\displaystyle{\left] 0;+\infty \right[}\) par \(\displaystyle{h\left(x\right)=\dfrac{-5}{x}}\) est le produit de la fonction f par −5 qui est négatif.

La fonction \(\displaystyle{h}\) a donc le sens de variation contraire de \(\displaystyle{f}\) donc \(\displaystyle{h}\) est croissante sur \(\displaystyle{\left] 0;+\infty \right[}\).

Sens de variation de \(\displaystyle{\dfrac{1}{f}}\)

Si la fonction f est de signe constant et ne s'annule pas sur un intervalle I, alors les fonctions f et \(\displaystyle{\dfrac{1}{f}}\) ont des sens de variation contraires sur I.

Soit \(\displaystyle{f\left(x\right)=\dfrac1x}\) une fonction définie et décroissante sur \(\displaystyle{\left] 0;+\infty \right[}\).

Cette fonction est de signe constant et ne s'annule pas sur \(\displaystyle{\left] 0;+\infty \right[}\).

La fonction \(\displaystyle{h\left(x\right)=\dfrac{1}{f\left(x\right)}}\) définie sur \(\displaystyle{\left] 0;+\infty \right[}\) est l'inverse de la fonction f.

La fonction \(\displaystyle{h}\) a donc le sens de variation contraire de \(\displaystyle{f}\) donc \(\displaystyle{h}\) est croissante sur \(\displaystyle{\left] 0;+\infty \right[}\).

Sens de variation de \(\displaystyle{\sqrt f}\)

Si la fonction f est positive sur un intervalle I, alors les fonctions f et \(\displaystyle{\sqrt f}\) ont même sens de variation sur I.

Soit f la fonction définie sur \(\displaystyle{\left] 0;+\infty \right[}\) par \(\displaystyle{f\left(x\right)=\dfrac1x}\). f est décroissante sur \(\displaystyle{\left] 0;+\infty \right[}\).

Cette fonction est bien positive sur \(\displaystyle{\left] 0;+\infty \right[}\).

La fonction h définie sur \(\displaystyle{\left] 0;+\infty \right[}\) par \(\displaystyle{h\left(x\right)=\sqrt{f\left(x\right)}}\) est la racine carrée de la fonction f.

La fonction \(\displaystyle{h}\) a donc le même sens de variation que celui de \(\displaystyle{f}\) donc \(\displaystyle{h}\) est décroissante sur \(\displaystyle{\left] 0;+\infty \right[}\).