La fonction F(x) = 2 x^{2} est-elle une primitive de la fonction f(x) = 4 x telle que F(0) = 2 ?
Pour vérifier qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée, on commence par dériver cette fonction.
Ainsi, F sera une primitive de f si F'(x) = f(x) , pour tout x dans l'intervalle de définition.
Or :
F'(x) = 4 x
Donc F est une primitive de f .
On veut alors vérifier que F(0) = 2 , ce qui est faux sachant que :
F(0) = 2 \times 0^2 = 0
La fonction F(x) = 2 x^{2} n'est donc pas une primitive de la fonction f(x) = 4 x telle que F(0) = 2 .
La fonction F(x) = \frac{1}{x} - \dfrac{1}{2} est-elle une primitive de la fonction f(x) = - \frac{1}{x^{2}} telle que F(2) = 0 ?
Pour vérifier qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée, on commence par dériver cette fonction.
Ainsi, F sera une primitive de f si :
F'(x) = f(x) , pour tout x dans l'intervalle de définition.
Or :
F'(x) = - \frac{1}{x^{2}}
Donc F est une primitive de f .
On doit alors vérifier que F(2) = 0 :
F(2) = \frac{1}{2} - \dfrac{1}{2} = 0
La fonction F(x) = \frac{1}{x} - \dfrac{1}{2} est donc une primitive de la fonction f(x) = - \frac{1}{x^{2}} telle que F(2) = 0 .
La fonction F(x) = \left(x + 1\right)^{3} - 4 est-elle une primitive de la fonction f(x) = 3 \left(x + 1\right)^{2} telle que F(1) = 3 ?
Pour vérifier qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée, on commence par dériver cette fonction.
Ainsi, F sera une primitive de f si F'(x) = f(x) , pour tout x dans l'intervalle de définition.
Or :
F'(x) = 3 \left(x + 1\right)^{2}
Donc F est une primitive de f .
On doit alors vérifier que F(1) = 3 :
F(1) = \left(1 + 1\right)^{3} - 4 = 8 - 4 = 4
La fonction F(x) = \left(x + 1\right)^{3} n'est donc pas une primitive de la fonction f(x) = 3 \left(x + 1\right)^{2} telle que F(1) = 3 .
La fonction F(x) = \cos{\left(x \right)} est-elle une primitive de la fonction f(x) = - \sin{\left(x \right)} telle que F(\pi) = 1 ?
Pour vérifier qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée, on commence par dériver cette fonction.
Ainsi, F sera une primitive de f si F'(x) = f(x) , pour tout x dans l'intervalle de définition.
Or :
F'(x) = - \sin{\left(x \right)}
Donc F est une primitive de f .
On doit alors vérifier que F(\pi) = 1 :
F(\pi) = \cos(\pi) = -1
La fonction F(x) = \cos{\left(x \right)} n'est donc pas une primitive de la fonction f(x) = - \sin{\left(x \right)} telle que F(\pi) = 1 .
La fonction F(x) = e^{x} est-elle une primitive de la fonction f(x) = e^{x} telle que F(0) = 2 ?
Pour vérifier qu'une fonction est une primitive d'une fonction donnée, on commence par dériver cette fonction.
Ainsi, F sera une primitive de f si F'(x) = f(x) , pour tout x dans l'intervalle de définition.
Or :
F'(x) = e^{x}
Donc F est une primitive de f .
On doit alors vérifier que F(0) = 2 :
F(0) = \exp(0) = 1
La fonction F(x) = e^{x} n'est donc pas une primitive de la fonction f(x) = e^{x} telle que F(0) = 2 .