On se propose de démontrer le théorème suivant :
Soit f une fonction définie sur un intervalle I .
Si f admet une primitive F sur I , alors les primitives de f sur I sont les fonctions de la forme :
x \mapsto F(x) + k, k \in \mathbb{R}
Autrement dit, les primitives de f ne diffèrent que d'une constante.
Soit f une fonction continue sur I et F une primitive de F .
Soient k \in \mathbb{R} et G la fonction définie sur I telle que :
G(x) = F(x)+k
Quelle affirmation est vraie ?
On peut dériver la fonction G terme à terme.
Ainsi, G' = f .
Soient f une fonction continue sur I et F une primitive de F .
On prend G une autre primitive de f .
On note :
h(x) = G(x) - F(x)
Que peut-on dire de h ?
Pour tout x dans I , on a :
h(x) = G(x) - F(x)
En dérivant :
h'(x) = G'(x) - F'(x)
Or, F et G sont des primitives de f , donc F'(x) = f(x) et G'(x) = f(x) .
Ainsi :
h'(x) = f(x) - f(x) = 0
h est une fonction dérivable car F et G sont dérivables. Comme sa dérivée est nulle, c'est une constante.
Ainsi, h est constante.
Que peut-on déduire de la fonction G ?
h est constante donc il existe k \in \mathbb{R} tel que :
h(x) = k
Or :
h(x) = G(x) - F(x)
Donc G(x) - F(x) = k .
Ainsi, G = F + k.